Α Λυκείου / ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1523 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)= \alpha x + \beta

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1523 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)= \alpha x + \beta
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού,
6.1 Η έννοια της συνάρτησης,
6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης.
6.3 Η συνάρτηση f(x) = \alpha x + \beta.

Rendered by QuickLaTeX.com


Λύση

1.) Πρέπει: |2 - x| \neq 0 \Leftrightarrow 2 - x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq 2.

Άρα το πεδίο ορισμού της f είναι το \mathbb{A} = \mathbb{R} - \{2\}.

2.) Θα παραγοντοποιήοσυμε το τριώνυμο x^2 - 5x + 6.

Το τριώνυμο έχει \alpha = 1, ~\beta = -5, ~\gamma = 6 και διακρίνουσα:

    \begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha \gamma \\\\ &=& (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 \\\\ &=& 25 - 24 \\\\ &=& 1 > 0 \end{eqnarray*}

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

    \begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\\\ &=& \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} \\\\ &=& \dfrac{5 \pm 1}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{5 + 1}{2} = 3 \\[5mm] \dfrac{5 - 1}{2} = 2 \end{array}\right. \end{eqnarray*}

Είναι: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

Ο τύπος της f γράφεται:

    \begin{eqnarray*} f(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 6}{|2 - x|} = \dfrac{(x - 2)(x - 3)}{|2 - x|} \end{eqnarray*}

Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

1^{\text{η}} περίπτωση
Για x > 2 είναι: |2 - x| = -(2 - x) = x - 2,

οπότε η f γράφεται:

    \begin{eqnarray*} f(x) &=& \dfrac{x^2 - 2x + 6}{|2 - x|} \\\\ &=&\dfrac{(x - 2)(x - 3)}{x - 2} \\\\ &=& x - 3 \end{eqnarray*}

2^{\text{η}} περίπτωση
Για x < 2 είναι: |2 - x| = 2 - x = -(x - 2),

οπότε η f γράφεται:

    \begin{eqnarray*} f(x) &=& \dfrac{x^2 - 2x + 6}{|2 - x|} \\\\ &=&\dfrac{(x - 2)(x - 3)}{-(x - 2)} \\\\ &=& -(x - 3) \\\\ &=& -x + 3 \end{eqnarray*}

Τελικά έχουμε:

    \begin{eqnarray*} f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x - 3, & ~x > 2 \\\\ -x + 3, & x < 2 \end{array}\right. \end{eqnarray*}

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1523 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f(x)= \alpha x + \beta

3.) Για x = 3 είναι f(3) = 0 και για x = 4 είναι f(4) = 1.

Επομένως η ευθεία y = x - 3 διέρχεται από τα σημεία A(3, 0) και B(4, 1).

Για x = 1 είναι f(1) = 2 και για x = 0 είναι f(0) = 3.

Η γραφική παράσταση C_f της δίκλαδης συνάρτησης f.

Επομένως η ευθεία y = 3 - x διέρχεται από τα σημεία \Gamma(1, 2) και \Delta(0, 3).
Η γραφική παράσταση της f είναι:

Για τις τετμημένες των σημείων τομής της C_f με τον άξονα x'x λύνουμε την εξίσωση:

    \begin{eqnarray*} f(x) = 0 &\Leftrightarrow& \dfrac{x^2 - 5x + 6}{|2 - x|} = 0 \\\\ &\Leftrightarrow& x^2 - 5x + 6 = 0 \\\\ &\xLeftrightarrow{\beta'}& (x = 2 ~\text{ή} ~x = 3) \\\\ &\xLeftrightarrow{x \neq 2}& x = 3 \end{eqnarray*}

Άρα η C_f τέμνει τον άξονα x'x στο σημείο A(3, 0).
Επίσης έχουμε:

    \begin{eqnarray*} f(0) &=& \dfrac{0^2 - 5 \cdot 0 + 6}{2 - 0} \\\\ &=& \dfrac{6}{2} = 3 \end{eqnarray*}

Άρα η C_f τέμνει τον άξονα y'y στο σημείο B(0,3).

4.) Αναζητούμε τα x για τα οποία η γραφική παράσταση της f βρίσκεται ((κάτω)) από τον άξονα x'x καθώς και τα σημεία τομής της f με τον άξονα x'x. Από τη γραφική παράσταση διαπιστώνουμε ότι αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν: x \in (2, 3].

Σχόλιο
Προφανώς, τα σημεία τομής με τους άξονες θα μπορούσαμε να τα συμπεράνουμε από τη γραφική παράσταση της f χωρίς να χρειαστεί να λύσουμε τις παραπάνω εξισώσεις.

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *