ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1522 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1522 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού,

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο $x^2 - 3x + 2$ έχει $\alpha = 1, ~\beta = -3, ~\gamma = 2$ και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 \\ &=& 9 - 8 \\ &=& 1 > 0 \end{eqnarray*}$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$\begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{3 \pm 1}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{3 + 1}{2} = 2 \\[5mm] \dfrac{3 - 1}{2} = 1 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ — ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ: $x^2 - 3x + 2$

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 3x + 2 < 0 &\Leftrightarrow& 1 < x < 2 \\ &\Leftrightarrow& x \in (1, 2) ~\text{και} \\\\\ x^2 - 3x + 2 > 0 &\Leftrightarrow& (x < 1 ~\text{ή} ~x > 2) \\ &\Leftrightarrow& x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \end{eqnarray*}$

2.) Επειδή είναι $(\alpha^2 - 3\alpha + 2)(\beta^2 - 3\beta + 2) < 0$
οι $\alpha^2 - 3\alpha+2, \quad \beta^2 - 3\beta + 2$ είναι ετερόσημοι.

Από την απάντηση του ερωτήματος $(\alpha),$ διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

$1^{\text{η}}$ περίπτωση

$\begin{eqnarray*} &(\alpha^2 - 3\alpha + 2 > 0 ~\text{και} ~\beta^2 - 3\beta + 2 < 0 ~\text{και} ~\alpha < \beta) \\\\ &\xLeftrightarrow{(\alpha)} (\alpha < 1 ~\text{ή} ~\alpha > 2 ~\text{και} ~ 1 < \beta < 2 ~\text{και} ~\alpha < \beta) \\\\ &\Leftrightarrow (\alpha - 1 < 0 ~\text{και} ~\beta - 2 < 0) \end{eqnarray*}$

Τότε $(\alpha - 1)(\beta - 2) > 0.$ Άρα $|(\alpha - 1)(\beta - 2)| = (\alpha - 1)(\beta - 2).$
Την περίπτωση $\alpha > 2$ την απορρίπτουμε διότι σε συνδυασμό με την ανίσωση $1 < \beta < 2$ καταλήγουμε ότι $\alpha > \beta,$ που είναι άτοπο.

$2^{\text{η}}$ περίπτωση

$\begin{eqnarray*} &(\alpha^2 - 3\alpha + 2 < 0 ~\text{και} ~\beta^2 - 3\beta + 2 > 0 ~\text{και} ~\alpha < \beta) \\\\ &\xLeftrightarrow{(\alpha)} (1 < \alpha < 2 ~\text{και} ~\beta < 1 ~\text{ή} ~\beta > 2 ~\text{και} ~\alpha < \beta) \\\\ &\Leftrightarrow (\alpha - 1 > 0 ~\text{και} ~\beta - 2 > 0) \end{eqnarray*}$

Τότε

$(\alpha - 1)(\beta - 2) > 0.$

Άρα $|(\alpha - 1)(\beta - 2)| = (\alpha - 1)(\beta - 2).$
Την περίπτωση $\beta < 1$ την απορρίπτουμε διότι σε συνδυασμό με την ανίσωση
$1 < \alpha < 2$ καταλήγουμε ότι $\alpha > \beta,$ που είναι άτοπο.
Σε κάθε περίπτωση ισχύει ότι:

$\begin{eqnarray*} &|(\alpha - 1)(\beta - 2)| = (\alpha - 1)(\beta - 2) \end{eqnarray*}$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1522 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά