ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1514 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1514 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

4.1 Ανισώσεις πρώτου βαθμού,
6.1 Η έννοια της συνάρτησης,
6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης.

Rendered by QuickLaTeX.com

Γραφικές παραστάσεις 1514
Γραφικές παραστάσεις C_f και C_g των συναρτήσεων f(x) = |x - 2| και g(x) = 1, ~x \in \mathbb{R}.

Λύση

1.)

1α.) Από τη γραφική παράσταση που δίνεται εκτιμούμε ότι τα σημεία τομής των C_f και C_g είναι τα Α_1(1, 1) και A_2(3, 1).

1β.) Η C_f είναι κάτω από τη C_g στο διάστημα (1, 3).

2.) Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το \mathbb{A} = \mathbb{R} και η g το \mathbb{B} = \mathbb{R}. Τα σημεία τομής τους προκύπτουν από τη λύση του συστήματος: y = f(x) και y = g(x). Είναι:

    \begin{eqnarray*} f(x) = g(x) &\Leftrightarrow& |x - 2| = 1 \\ &\Leftrightarrow& (x - 2 = 1 ~\text{ή} ~x - 2 = -1) \\ &\Leftrightarrow& (x = 3 ~\text{ή} ~x = 1) \end{eqnarray*}

Για x = 1 είναι f(1) = |1 - 2| = 1 και για x = 3 είναι f(3) = |3 - 2| = 1. Άρα τα σημεία τομής τους είναι τα A_1(1, 1) και Α_2(3, 1). Επίσης:

    \begin{eqnarray*} f(x) < g(x) &\Leftrightarrow& |x - 2| < 1 \\ &\Leftrightarrow& -1 < x - 2 < 1 \\ &\Leftrightarrow& 1 < x < 3 \end{eqnarray*}

άρα η C_f είναι κάτω από τη C_g στο διάστημα (1, 3).

3.) Η παράσταση Α έχει νόημα πραγματικού αριθμού αν και μόνο αν:

    \begin{eqnarray*} &(1 - f(x) \geq 0 ~\text{και} ~f(x) \neq 0) \Leftrightarrow (f(x) \leq 1 ~\text{και} ~f(x) \neq 0) \end{eqnarray*}

Αναζητούμε επομένως τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f είναι κάτω από τη γραφική παράσταση της g, τα σημεία τομής της f με την g καθώς και τα σημεία στα οποία η f τέμνει τον άξονα x'x ώστε να τα απορρίψουμε. Από τη δοθείσα γραφική παράσταση συμπεραίνουμε ότι αυτό συμβαίνει όταν: x \in [1, 2) \cup (2, 3].

Σχόλιο
Το σκέλος (γ’) θα μπορούσε να λυθεί αλγεβρικά ως εξής:

    \begin{eqnarray*}\color{red} (f(x) \leq 1 ~\text{και} ~f(x) \neq 0) &\Leftrightarrow& \color{blue}(|x - 2| \leq 1 ~\text{και} ~|x - 2| \neq 0) \\ &\Leftrightarrow& {\tiny{\color{blue}-1 \leq x - 2 \leq 1 ~\text{και} ~x - 2 \neq 0}} \\ &\Leftrightarrow& \color{blue}(1 \leq x \leq 3 ~\text{και} ~x \neq 2) \\ &\Leftrightarrow&\color{blue} x \in [1, 2) \cup (2, 3] \end{eqnarray*}

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *