ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1512 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1512 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

4.1 Ανισώσεις πρώτου βαθμού,
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού,

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Είναι:

$\begin{eqnarray*} |x - 1| \leq 3 &\Leftrightarrow& - 3 \leq x - 1 \leq 3 \\ &\Leftrightarrow& -3 + 1 \leq x - 1 + 1 \leq 3 + 1 \\ &\Leftrightarrow& -2 \leq x \leq 4 \\ &\Leftrightarrow& x \in [-2, 4] \end{eqnarray*}$

2.) Οι ακέραιες λύσεις της ανίσωσης $(1)$ που ανήκουν στο διάστημα $[-2, 4]$ είναι οι:

$-2, ~-1, ~0, ~1, ~2, ~3, ~4$

3.) Αναζητούμε ένα τριώνυμο με μορφή $f(x) = x^2 + \beta x + \gamma,$ το οποίο έχει δύο ρίζες και για το οποίο να ισχύει: $f(x) > 0, ~\forall x \geq 0,$ και ο συντελεστής του $x^2$ είναι $\alpha = 1 > 0.$
Αν το τριώνυμο έχει δύο ρίζες άνισες $x_1, x_2$ τότε ο πίνακας προσήμων του είναι ο εξής:

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ — Πρόσημο του τριωνύμου $x^{2}+\beta x +\gamma$

Επειδή θέλουμε $f(x) > 0,$ για κάθε $x \in [0, +\infty)$ πρέπει το διάστημα αυτό να είναι εκτός των ριζών $x_1, x_2.$ Αυτό με άλλα λόγια σημαίνει ότι οι ρίζες δεν πρέπει να ανήκουν στο διάστημα $[0, +\infty).$ Επομένως οι ρίζες θα είναι οι αριθμοί $-2$ και $-1.$ Τότε από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:

$S = x_1 + x_2 = -2 + (-1) = -3$

και

$P = x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot (-1) = 2.$

Το ζητούμενο τριώνυμο είναι το:

$x^2 - Sx + P = x^2 + 3x + 2.$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1512 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά