ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1513 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1513 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού,
6.1 Η έννοια της συνάρτησης,

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο -x^2 + 2x + 3 έχει \alpha = -1, ~\beta = 2, ~\gamma = 3 και διακρίνουσα:

    \begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 \\ &=& 4 + 12 \\ &=& 16 > 0 \end{eqnarray*}

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

    \begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot (-1)} \\ &=& \dfrac{-2 \pm 4}{-2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{-2 + 4}{-2} = -1 \\[5mm] \dfrac{-2 - 4}{-2} = 3 \end{array}\right. \end{eqnarray*}

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ
ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ -x^{2}+2x+3

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

    \begin{eqnarray*} -x^2 + 2x + 3 > 0 &\Leftrightarrow& - 1 < x < 3 \\ &\Leftrightarrow& x \in (-1, 3) \end{eqnarray*}

και

    \begin{eqnarray*} -x^2 + 2x + 3 < 0 &\Leftrightarrow& (x < -1 ~\text{ή} ~x > 3) \\ &\Leftrightarrow& x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \end{eqnarray*}

2) Ο αριθμός 2,999 ανήκει στο διάστημα (-1, 3)
όπου το τριώνυμο είναι θετικό. Άρα: f(2,999) > 0.
Ο αριθμός -1,002 ανήκει στο διάστημα (-\infty, -1)
όπου το τριώνυμο είναι αρνητικό. Άρα: f(-1,002) < 0.
Επομένως είναι: f(2,999) \cdot f(-1,002) < 0

3) Ο αριθμός -\alpha^2 + 2|\alpha| + 3 = -|\alpha|^2 + 2|\alpha| + 3
προκύπτει αν στον τύπο της f θέσουμε x = |\alpha|.
Είναι δηλαδή:

    \begin{eqnarray*} f(|\alpha|) &=& - |\alpha|^2 + 2|\alpha| + 3\\ &=& -\alpha^2 + 2|\alpha| + 3 \end{eqnarray*}

Επειδή είναι:

    \begin{eqnarray*} -3 < \alpha < 3 &\Leftrightarrow& |\alpha| < 3 \\ &\Leftrightarrow& 0 \leq |\alpha| < 3 \end{eqnarray*}

ο αριθμός |\alpha| ανήκει στο διάστημα (-1, 3)
όπου η f είναι θετική.
Άρα:

    \begin{eqnarray*} &f(|\alpha|) > 0 \Leftrightarrow -\alpha^2 + 2|\alpha| + 3 > 0 \end{eqnarray*}

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *