ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1513 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1513 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού,
6.1 Η έννοια της συνάρτησης,

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο $-x^2 + 2x + 3$ έχει $\alpha = -1, ~\beta = 2, ~\gamma = 3$ και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3 \\ &=& 4 + 12 \\ &=& 16 > 0 \end{eqnarray*}$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$\begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot (-1)} \\ &=& \dfrac{-2 \pm 4}{-2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{-2 + 4}{-2} = -1 \\[5mm] \dfrac{-2 - 4}{-2} = 3 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ — ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ $-x^{2}+2x+3$

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$\begin{eqnarray*} -x^2 + 2x + 3 > 0 &\Leftrightarrow& - 1 < x < 3 \\ &\Leftrightarrow& x \in (-1, 3) \end{eqnarray*}$

και

$\begin{eqnarray*} -x^2 + 2x + 3 < 0 &\Leftrightarrow& (x < -1 ~\text{ή} ~x > 3) \\ &\Leftrightarrow& x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \end{eqnarray*}$

2) Ο αριθμός $2,999$ ανήκει στο διάστημα $(-1, 3)$
όπου το τριώνυμο είναι θετικό. Άρα: $f(2,999) > 0.$
Ο αριθμός $-1,002$ ανήκει στο διάστημα $(-\infty, -1)$
όπου το τριώνυμο είναι αρνητικό. Άρα: $f(-1,002) < 0.$
Επομένως είναι: $f(2,999) \cdot f(-1,002) < 0$

$\begin{eqnarray*} f(|\alpha|) &=& - |\alpha|^2 + 2|\alpha| + 3\\ &=& -\alpha^2 + 2|\alpha| + 3 \end{eqnarray*}$

Επειδή είναι:

$\begin{eqnarray*} -3 < \alpha < 3 &\Leftrightarrow& |\alpha| < 3 \\ &\Leftrightarrow& 0 \leq |\alpha| < 3 \end{eqnarray*}$

ο αριθμός $|\alpha|$ ανήκει στο διάστημα $(-1, 3)$
όπου η $f$ είναι θετική.
Άρα:

$\begin{eqnarray*} &f(|\alpha|) > 0 \Leftrightarrow -\alpha^2 + 2|\alpha| + 3 > 0 \end{eqnarray*}$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1513 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά