ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1500 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1500 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών
3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο $x^2 - 6x + \lambda$ έχει $\alpha = 1, ~\beta = -6, ~\gamma = \lambda - 7$ και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (\lambda - 7) \\ &=& 36 - 4\lambda + 28 \\ &=& 64 - 4\lambda. \end{eqnarray*}$

Το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες αν και μόνο αν:

$\begin{eqnarray*} \Delta \geq 0 &\Leftrightarrow& 64 - 4\lambda \geq 0 \\ &\Leftrightarrow& -4\lambda \geq -64 \\ &\Leftrightarrow& \lambda \leq 16 \end{eqnarray*}$

2.)
2α.) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:

$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = - \dfrac{-6}{1} = 6$

και

$P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{\lambda - 7}{1} = \lambda - 7$

2β.) Το τριώνυμο έχει δύο άνισες και ομόσημες ρίζες αν και μόνο αν:

$\begin{eqnarray*} (\Delta > 0 ~\text{και} ~P > 0) &\Leftrightarrow& (64 - 4\lambda > 0 ~\text{και} ~\lambda - 7 > 0) \\ &\Leftrightarrow& (-4\lambda > -64 ~\text{και} ~\lambda > 7) \\ &\Leftrightarrow& (\lambda < 16 ~\text{και} ~\lambda > 7) \\ &\Leftrightarrow& 7 < \lambda < 16 \end{eqnarray*}$

Επειδή $S = 6 > 0,$ οι ρίζες είναι θετικές.

3.)

3α.) Η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:

$\begin{eqnarray*} &x^2 - 6|x| + \lambda = 7 \Leftrightarrow |z|^2 - 6|x| +\lambda - 7 = 0 ~(2) \end{eqnarray*}$

Θέτουμε στη $(2) ~|x| = y$ και έχουμε:

$\begin{eqnarray*} &y^2 - 6|y| + \lambda - 7 = 0 ~(3) \end{eqnarray*}$

Επομένως για να έχει η εξίσωση $(2)$ τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες αρκεί η εξίσωη $(3)$ να έχει δύο θετικές άνισες μεταξύ τους πραγματικές ρίζες. Από το σκέλος (β’\textlatin{ii}) προκύπτει ότι αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν: $7 < \lambda < 16.$
3β.) Ισχύει ότι:

$\begin{eqnarray*} &7 < 3\sqrt{10} < 16 \Leftrightarrow \sqrt{47} < \sqrt{90} < \sqrt{256} \end{eqnarray*}$

το οποίο ισχύει.
Τελικά για $\lambda = 3\sqrt{10}$ η εξίσωση $(2)$ οπότε και $(1)$ έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες.

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1500 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά