Α Λυκείου / ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1498 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1498 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,
5.3 Γεωμετρική πρόοδος.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μήκη πλευρών \alpha και \beta έχει εμβαδόν Ε = \alpha\beta ~(1). Οι αριθμοί \alpha, Ε, \beta, με τη σειρά που δίνονται να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει:

    \begin{eqnarray*} E^2 = \alpha\beta &\xLeftrightarrow{(1)}& E^2 = E \\ &\xLeftrightarrow{(E \neq 0)}& E = 1 \end{eqnarray*}

2.)
2a.) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:

    \[S = x_1 + x_2 = \alpha + \beta = 10\]

και

    \[P = x_1 \cdot x_2 = \alpha + \beta = 1\]

Μία εξίσωση 2^{\text{ου}} βαθμού με ρίζες τα μήκη \alpha και \beta είναι η:

    \begin{eqnarray*} x^2 - Sx + P - 0 \Leftrightarrow x^2 - 10x + 1 = 0 ~(2) \end{eqnarray*}

2b.) Τα \alpha, \beta είναι οι λύσεις της εξίσωσης (2). Η εξίσωση (2) έχει διακρίνουσα:

    \begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 96 \end{eqnarray*}

και ρίζες τις:

    \begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{10 \pm \sqrt{16 \cdot 6}}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{10 + 4\sqrt{6}}{2} = 5 + 2\sqrt{6} \\[5mm] \dfrac{10 - 4\sqrt{6}}{2} = 5 - 2\sqrt{6} \end{array}\right. \end{eqnarray*}

Άρα τα μήκη είναι 5 + 2\sqrt{6} και 5 - 2\sqrt{6}.

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *