Α Λυκείου / ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1492 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1492 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ

Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού,

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:

    \[S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = -\dfrac{-4(\lambda + \frac{1}{\lambda})}{1} = 4\bigg(\lambda + \dfrac{1}{\lambda}\bigg)\]

και

    \[P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{16}{1} = 16\]

1α.) Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι:

    \begin{eqnarray*} \Pi &=& 2x_1 + 2x_2 \\ &=& 2 \cdot (x_1 + x_2) \\[3mm] &=& 2 \cdot 4 \cdot \bigg(\lambda + \dfrac{1}{\lambda}\bigg) \\[3mm] &=& 8 \cdot \bigg(\lambda + \dfrac{1}{\lambda}\bigg) \end{eqnarray*}

1β.) Το εμβαδόν είναι: E = x_1 \cdot x_2 = 16.
\end{enumerate}
2.) Είναι:

    \begin{eqnarray*} \Pi \geq 16 &\Leftrightarrow& 8 \cdot \bigg(\lambda + \dfrac{1}{\lambda}\bigg) \geq 16 \\ &\Leftrightarrow& \lambda + \dfrac{1}{\lambda} \geq 2 \\ &\xLeftrightarrow{(\lambda > 0)}& \lambda^2 + 1 \geq 2\lambda \\ &\Leftrightarrow& \lambda^2 - 2\lambda + 1 \geq 0 \\ &\Leftrightarrow& (\lambda -1)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}

το οποίο ισχύει για κάθε \lambda \in (0, 4).

3.) Ισοδύναμα βρίσκουμε:

    \begin{eqnarray*} \Pi = 16 &\Leftrightarrow& 8 \cdot \bigg(\lambda + \dfrac{1}{\lambda}\bigg) = 16 \\ &\Leftrightarrow& \lambda + \dfrac{1}{\lambda} = 2 \\ &\Leftrightarrow& \lambda^2 + 1 = 2\lambda \\ &\Leftrightarrow& \lambda^2 -2\lambda + 1 = 0 \\ &\Leftrightarrow& (\lambda - 1)^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow& \lambda - 1 = 0 \\ &\Leftrightarrow& \lambda =1 \end{eqnarray*}

Για \lambda = 1 η εξίσωση γράφεται:

    \begin{eqnarray*} x^2 - 8x + 16 = 0 &\Leftrightarrow& (x - 4)^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow& x - 4 = 0 \\ &\Leftrightarrow& x = -4 \end{eqnarray*}

Δηλαδή η εξίσωση έχει διπλή ρίζα το οποίο σημαίνει ότι x_1 = x_2 = 4 κι επομένως το ορθογώνιο είναι τετράγωνο.

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *