ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1488 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1488 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.1 Εξισώσεις πρώτου βαθμού,
3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,
5.2 Αριθμητική πρόοδος.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
1.) Το πλήθος των μαθητών είναι: $x (x - 1)$ ή $(x + 3)(x - 3) - 1.$ Πρέπει:

$\begin{eqnarray*} x (x - 1) = (x + 3)(x - 3) - 1 &\Leftrightarrow& x^2 - x = x^2 - 9 - 1 \\ &\Leftrightarrow& -x = -9 - 1 \\ &\Leftrightarrow& x = 10 \end{eqnarray*}$

2.) Αντικαθιστούμε στον τύπο $x (x - 1)$ όπου $x = 10$ και βρίσκουμε: $10 (10 - 1) = 10 \cdot 9 = 90$ μαθητές.

3.) Το πλήθος των μαθητών στις ομάδες εργασίας αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου με $\alpha_1 = 2, ~\omega = 2$ και $S_{\nu} = 90.$ Τότε:

$\begin{eqnarray*} S_{\nu} = \dfrac{\nu}{2}[2\alpha_1 + (\nu - 1)\omega] &\Leftrightarrow& 90 = \dfrac{\nu}{2}[2 \cdot 2 + (\nu - 1) 2] \\ &\Leftrightarrow& 90 = \dfrac{\nu}{2}(4 + 2\nu - 2) \\ &\Leftrightarrow& 90 = 2\nu + \nu^2 - \nu \\ &\Leftrightarrow& \nu^2 + \nu - 90 = 0 \end{eqnarray*}$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& 1^1 - 4 \cdot 1 \cdot (-90) \\ &=& 1 + 360 \\ &=& 361 >0 \end{eqnarray*}$

και ρίζες τις:

$\begin{eqnarray*} \nu_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-1 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{-1 \pm 19}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{-1 + 19}{2} = 9 \\[5mm] \dfrac{-1 - 19}{2} = -10 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$