ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1487 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1487 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.)
1α.) Το τριώνυμο $x^2 + 9x + 18$ έχει $\alpha = 1, ~\beta = 9, ~\gamma = 18$ και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 \\ &=& 81 - 72 \\ &=& 9 > 0 \end{eqnarray*}$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι:

$\begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-9 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{-9 \pm 3}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{-9 + 3}{2} = -3 \\[5mm] \dfrac{-9 - 3}{2} = -6 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

1β.) Επειδή $|x + 3| \geq 0$ και $|x^2 + 9x + 18| \geq 0$ ισοδύναμα βρίσκουμε:

$|x + 3| + |x^2 + 9x + 18| = 0 \Leftrightarrow$

$(|x + 3| = 0 ~\text{και} ~|x^2 + 9x + 18| = 0) \Leftrightarrow$

$(x + 3 = 0 ~\text{και} ~x^2 + 9x + 18 = 0)\xLeftrightarrow{\alpha'}$

$(x = -3 ~\text{και} ~x = -3 ~\text{ή} ~x = -6) ;\Leftrightarrow x = -3$

2.)
2β.) Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ — Το πρόσημο του $x^{2}+9x+18.$

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$\begin{eqnarray*} x^2 + 9x + 18 < 0 &\Leftrightarrow& -6 < x < -3 \\ &\Leftrightarrow& x \in (-6, -3) ~\text{και} \\ x^2 + 9x + 18 > 0 &\Leftrightarrow& (x < -6 ~\text{ή} ~x > -3) \\ &\Leftrightarrow& x \in (-\infty, -6) \cup (-3, +\infty) \end{eqnarray*}$

2γ.) Είναι:

$|x^2 + 9x + 18| = -x^2 - 9x - 18 \Leftrightarrow$

$|x^2 + 9x + 18| = -(x^2 + 9x +18) \Leftrightarrow$

$x^2 + 9x + 18 \leq 0 \xLeftrightarrow{(\beta\textlatin{ii})} -6 \leq x \leq -3 \Leftrightarrow$

$x \in (-6, -3)$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1487 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά