ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1486 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1486 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,
3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο x^2 - 6x + \lambda - 3 έχει \alpha = 1, ~\beta = -6, ~\gamma = \lambda - 3 και διακρίνουσα:

    \begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (\lambda - 3) \\ &=& 36 - 4\lambda + 12 \\ &=& 48 - 4\lambda \end{eqnarray*}

2.) Το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες αν και μόνο αν:

    \begin{eqnarray*} \Delta > 0 &\Leftrightarrow& 48 - 4\lambda > 0 \\ &\Leftrightarrow& -4\lambda > -48 \\ &\Leftrightarrow& \lambda < 12 \end{eqnarray*}

3.)
3α.) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:
S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = -\dfrac{-6}{1} = 6
και
P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{\lambda - 3}{1} = \lambda - 3
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι άνισες και θετικές αν και μόνο αν:

    \[(\Delta > 0, ~S > 0 ~\text{και} ~P > 0) \Leftrightarrow\]

    \[(48 - 4\lambda > 0, ~6 > 0 ~\text{και} ~\lambda - 3 > 0) \Leftrightarrow\]

    \[(\lambda < 12 ~\text{και} ~\lambda > 3) \Leftrightarrow\]

    \[3 < \lambda < 12, ~\text{ισχύει}\]

3β.) Επειδή ο συντελεστής του x^2 είναι το 1 > 0 το τριώνυμο είναι θετικό εκτός των ριζών x_1, x_2 και αρνητικό εντός των ριζών.
Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Πρόσημο Τριωνύμου
Πίνακας προσήμου του x^{2}-6x+\lambda -3

Επειδή x_1 < \mu < x_2 είναι: \mu > 0, αφού x_1, x_2 > 0 και από τον πίνακα διαπιστώνουμε ότι: f(\mu) < 0.
Επίσης, αφού x_1 > 0 θα πρέπει το 0 να είναι αριστερά του x_1, όπως φαίνεται στον πίνακα προσήμων. Επειδή \kappa < 0 από τον πίνακα προσήμων διαπιστώνουμε ότι:

    \[f(\kappa) > 0.\]

Τελικά, είναι \kappa < 0, ~\mu > 0, ~f(\kappa) > 0, ~f(\mu) < 0. οπότε:

    \begin{eqnarray*} \kappa \cdot f(\kappa) \cdot \mu \cdot f(\mu) > 0. \end{eqnarray*}

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *