ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1486 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1486 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,
3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τριώνυμο $x^2 - 6x + \lambda - 3$ έχει $\alpha = 1, ~\beta = -6, ~\gamma = \lambda - 3$ και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (\lambda - 3) \\ &=& 36 - 4\lambda + 12 \\ &=& 48 - 4\lambda \end{eqnarray*}$

2.) Το τριώνυμο έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες αν και μόνο αν:

$\begin{eqnarray*} \Delta > 0 &\Leftrightarrow& 48 - 4\lambda > 0 \\ &\Leftrightarrow& -4\lambda > -48 \\ &\Leftrightarrow& \lambda < 12 \end{eqnarray*}$

3.)
3α.) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:
$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = -\dfrac{-6}{1} = 6$
και
$P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{\lambda - 3}{1} = \lambda - 3$
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι άνισες και θετικές αν και μόνο αν:

$(\Delta > 0, ~S > 0 ~\text{και} ~P > 0) \Leftrightarrow$

$(48 - 4\lambda > 0, ~6 > 0 ~\text{και} ~\lambda - 3 > 0) \Leftrightarrow$

$(\lambda < 12 ~\text{και} ~\lambda > 3) \Leftrightarrow$

$3 < \lambda < 12, ~\text{ισχύει}$

3β.) Επειδή ο συντελεστής του $x^2$ είναι το $1 > 0$ το τριώνυμο είναι θετικό εκτός των ριζών $x_1, x_2$ και αρνητικό εντός των ριζών.
Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Πρόσημο Τριωνύμου — Πίνακας προσήμου του $x^{2}-6x+\lambda -3$

Πίνακας προσήμου του $x^{2}-6x+\lambda -3$

Επειδή $x_1 < \mu < x_2$ είναι: $\mu > 0,$ αφού $x_1, x_2 > 0$ και από τον πίνακα διαπιστώνουμε ότι: $f(\mu) < 0.$
Επίσης, αφού $x_1 > 0$ θα πρέπει το $0$ να είναι αριστερά του $x_1,$ όπως φαίνεται στον πίνακα προσήμων. Επειδή $\kappa < 0$ από τον πίνακα προσήμων διαπιστώνουμε ότι:

$f(\kappa) > 0.$

Τελικά, είναι $\kappa < 0, ~\mu > 0, ~f(\kappa) > 0, ~f(\mu) < 0.$ οπότε:

$\begin{eqnarray*} \kappa \cdot f(\kappa) \cdot \mu \cdot f(\mu) > 0. \end{eqnarray*}$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1486 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά