ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1485 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1485 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού,
3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
1.) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x'x$ αν και μόνο αν:

$\begin{eqnarray*} f(x) > 0 &\Leftrightarrow& (x - 1)^2 - 4 > 0 \\ &\Leftrightarrow& (x - 1)^2 > 4 \\ &\Leftrightarrow& \sqrt{(x - 1)^2} > \sqrt{4} \\ &\Leftrightarrow& |x - 1| > 2 \\ &\Leftrightarrow& (x - 1 < -2 ~\text{ή} ~x - 1 > 2) \\ &\Leftrightarrow& (x < -1 ~\text{ή} ~x > 3) \end{eqnarray*}$

2.) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $g$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $x'x$ αν και μόνο αν:

$\begin{eqnarray*} &g(x) > 0 \Leftrightarrow |x - 1| + 2 > 0 \end{eqnarray*}$

το οποίο ισχύει για κάθε $x \in \mathbb{R}$ αφού $|x - 1| \geq 0$ και $2 > 0.$

3.)Οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων $f$ και $g$ προκύπτουν από τη λύση της εξίσωσης:

$\begin{eqnarray*} f(x) = g(x) &\Leftrightarrow& (x - 1)^2 - 4 = |x - 1| + 2 \\ &\Leftrightarrow& |x - 1|^2 - |x - 1| - 6 = 0 ~(1) \end{eqnarray*}$

Θέτουμε $|x - 1| = y ~(2)$ οπότε η εξίσωση $(1)$ γράφεται: $y^2 - y - 6 = 0.$ Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) \\ &=& 1 +24 \\ &=& 25 > 0 \end{eqnarray*}$

και ρίζες τις:

$\begin{eqnarray*} y_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{1 \pm 5}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1 + 5}{2} = 3 \\[5mm] \dfrac{1 - 5}{2} = -2 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Αντικαθιστούμε στην ισότητα $(2)$ και βρίσκουμε:

$\color{blue}|x - 1| = 3 \color{black}\Leftrightarrow (x - 1 = -3 ~\text{ή} ~x - 1 = 3) \Leftrightarrow$

$(x = -2 ~\text{ή} ~x = 4)$

$\color{blue}|x - 1| = - 2,$ αδύνατη.
Αντικαθιστούμε $x = -2$ στον τύπο της συνάρτησης $g$ και βρίσκουμε:

$\begin{eqnarray*} g(-2) = |-2 - 1| + 2 &\Leftrightarrow& g(-2) = |-3| + 2 \\ &\Leftrightarrow& g(-2) = 5 \end{eqnarray*}$

Αντικαθιστούμε $x = 4$ στον τύπο της συνάρτησης $g$ και βρίσκουμε:

$\begin{eqnarray*} g(4) = |4 - 1| + 2 &\Leftrightarrow& g(-2) = |3| + 2 \\ &\Leftrightarrow& g(-2) = 5 \end{eqnarray*}$

Τελικά τα σημεία τομής έχουν συντεταγμένες: $A(-2, 5)$ και $B(4, 5).$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1485 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά