ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1484 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1484 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Το τέρμα $M,$ ώστε η χελώνα να κερδίσει τον αγώνα θα πρέπει να βρίσκεται σε οποιαδήποτε για την οποία ισχύει:

$\begin{eqnarray*} S_X(t) > S_{\Lambda}(t) &\Leftrightarrow& 600 + 40t > 10t^2 \\ &\Leftrightarrow& 10t^2 - 40t - 600 < 0\\ &\Leftrightarrow& t^2 - 4t - 60 <0 \end{eqnarray*}$

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) \\ &=& 16 + 240 \\ &=& 256 > 0 \end{eqnarray*}$

και ρίζες τις:

$\begin{eqnarray*} t_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{4 \pm 16}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{4 + 16}{2} = 10 \\[5mm] \dfrac{4 - 16}{2} = -6 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Το πρόσημο του τριωνύμου φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.

Πρόσημο τριωνύμου. — Πίνακας προσήμου για το τριώνυμο $t^{2}-4t-60$

Από τον πίνακα προσήμων συμπεραίνουμε ότι:

$\begin{eqnarray*} t^2 - 4t - 60 < 0 &\Leftrightarrow& -6 < t < 10 \\ &\Leftrightarrow& t \in (-6, 10) \end{eqnarray*}$

Επειδή όμως είναι $t \geq 0$ συμπεραίνουμε ότι: $t \in [0, 10).$ Τότε:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq t < 10 &\Leftrightarrow& 0 \leq 40t < 400 \\ &\Leftrightarrow& 600 + 0 \leq 600 + 40t < 600 + 400 \\ &\Leftrightarrow& 600 < S_{\Lambda} < 1000 \end{eqnarray*}$

Άρα, το $Μ$ μπορεί να απέχει λιγότερο από $1000$ μέτρα από το σημείο $Ο$ και η χελώνα θα έχει διαρκώς προβάδισμα.
2.)
2α.) Ο λαγός φτάνει τη χελώνα τη χρονική στιγμή για την οποία ισχύει:

$\begin{eqnarray*} S_X(t) = S_{\Lambda}(t) &\Leftrightarrow& 600 + 40t = 10t^2 \\ &\Leftrightarrow& 10t^2 - 40t - 600 = 0 \\ &\Leftrightarrow& t^2 - 4t - 60 = 0 \\ &\xLeftrightarrow{\alpha'}& t = 10 ~min \end{eqnarray*}$

2β.) Είναι:

$\begin{eqnarray*} S_{\Lambda}(12) &=& 10 \cdot 12^2 \\ &=& 10 \cdot 144 \\ &=& 1440 ~\text{μέτρα.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} S_Χ(12) &=& 600 + 40 \cdot 12 \\ &=& 600 + 480 \\ &=& 1080 ~\text{μέτρα.} \end{eqnarray*}$

Επομένως ο λαγός προηγείται της χελώνας και η μεταξύ τους απόσταση είναι: $1440 - 1080 = 360$ μέτρα.
2γ.) Αναζητούμε τη χρονική στιγμή για την οποία ισχύει:

$\begin{eqnarray*} S_{\Lambda}(t) = 2250 &\Leftrightarrow& 10t^2 = 2250 \\ &\Leftrightarrow& t^2 = 225 \\ &\Leftrightarrow& t^2 = 15^2 \\ &\xLeftrightarrow{t \geq 0}& t = 15 ~min \end{eqnarray*}$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1484 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά