ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1482 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1482 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Θέτουμε στη δοθείσα εξίσωση $x^2 = y, (y \geq 0) ~(1).$
Τότε:

$\begin{eqnarray*} x^4 - 9x^2 + 20 = 0 &\Leftrightarrow& (x^2)^2 - 9x^2 + 20 = 0 \\ &\Leftrightarrow& y^2 - 9y + 20 = 0 \end{eqnarray*}$

Η νέα εξίσωση έχει διακρίνουσα $\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81 - 80 = 1$ και ρίζες:

$\begin{eqnarray*} y_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-(-9) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{9 \pm 1}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{9 + 1}{2} = 5 \\[5mm] \dfrac{9 - 1}{2} = 4 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Για $y = 5$ η σχέση $(1)$ δίνει:

$x^2 = 5 \Leftrightarrow (x = -\sqrt{5} \quad {\text{ή}} \quad x = \sqrt{5}).$

Για $y = 4$ η σχέση $(1)$ δίνει:

$x^2 = 4 \Leftrightarrow (x = -2\quad {\text{ή}} \quad x = 2).$

Τελικά, η εξίσωση έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες.

2.) Θέτουμε $x^2 = \omega, (\omega \geq 0)$ οπότε η εξίσωση που θα κατασκευάσουμε θα είναι της μορφής: $\omega^2 + \beta \omega + \gamma = 0.$ Επειδή θέλουμε να έχει μια θετική και μια αρνητική ρίζα θεωρούμε για παράδειγμα τις $\omega_1 = -1$ και $\omega_2 = 4.$
Με χρήση των τύπων Vieta βρίσκουμε:

$S = \omega_1 + \omega_2 = -1 + 4 = 3.$

και

$P = \omega_1 \cdot \omega_2 = (-1) \cdot 4 = -4$

Τότε η εξίσωση είναι η:

$\omega^2 - S\omega + P = 0 \Leftrightarrow \omega^2 - 3\omega - 4 = 0$

και η αντίστοιχη διτετράγωνη, θέτοντας $x^2 = \omega$ είναι:

$\begin{eqnarray*} &x^4 - 3x^2 - 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

$\begin{eqnarray*} \omega^2 - 3\omega - 4 = 0 &\Leftrightarrow& (\omega = -1 ~\text{ή} ~\omega = 4) \\ &\Leftrightarrow& (x^2 = -1, ~\text{αδύνατη ή} ~x^2 = 4) \\ &\Leftrightarrow& (x = -2 ~\text{ή} ~x = 2) \end{eqnarray*}$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30
31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1482 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά