ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1479 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1478 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.)

1α.) Από τα δεδομένα της άσκησης βρίσκουμε ότι:

$\begin{eqnarray*} \Pi = 34 &\Leftrightarrow& 2 \kappa + 2\lambda = 34 \\ &\Leftrightarrow& \kappa + \lambda = 17 \\ &\Leftrightarrow& \kappa = 17 - \lambda ~(1) \end{eqnarray*}$

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε:

$\begin{eqnarray*} \kappa^2 + \lambda^2 = 13^2 &\xLeftrightarrow{(1)}& (17 - \lambda)^2 + \lambda^2 = 169 \\ &\Leftrightarrow& 289 - 34\lambda + \lambda^2 + \lambda^2 = 169 \\ &\Leftrightarrow& 2\lambda^2 - 34\lambda + 120 = 0 \\ &\Leftrightarrow& \lambda^2 - 17\lambda + 60 = 0 \end{eqnarray*}$

Η εξίσωση έχει διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 \\ &=& 289 - 240 \\ &=& 49 > 0 \end{eqnarray*}$

και ρίζες τις:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{-(-17) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{17 \pm 7}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{17 + 7}{2} = 12 \\[5mm] \dfrac{17 - 7}{2} = 5 \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Για $\lambda = 12$ από τη σχέση $(1)$ βρίσκουμε $\kappa = 5.$

Για $\lambda = 5$ από τη σχέση $(1)$ βρίσκουμε $\kappa = 12.$
Σε κάθε περίπτωση το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι $Ε = \kappa \cdot \lambda = 5 \cdot 12 = 60 ~cm^2$

1β.) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής: $x^2 - Sx + P = 0,$ με $S = \kappa + \lambda = 17$ και $P = \kappa \cdot \lambda = 60.$ Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$\begin{eqnarray*} &x^2 - 17x + 60 = 0 \end{eqnarray*}$

1γ.) Τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου είναι $5 ~cm$ και $12 ~cm.$

2.) Έστω ότι υπάρχει ορθογώνιο με μήκη πλευρών $\alpha$ και $\beta.$ Τότε πρέπει:

$\begin{eqnarray*} &E_0 = 40 \Leftrightarrow \alpha \beta = 40 ~(2) \\ \end{eqnarray*}$

Επίσης ισχύει:

$\begin{eqnarray*} \alpha^2 + \beta^2 = 8^2 &\Leftrightarrow& (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = 64 \\ &\xLeftrightarrow{(2)}& (\alpha + \beta)^2 - 80 = 64 \\ &\Leftrightarrow& (\alpha + \beta)^2 = 144 \\ &\xLeftrightarrow{(\alpha, \beta > 0)}& \alpha + \beta = 12 \end{eqnarray*}$

Μια δευτεροβάθμια εξίσωση με ρίζες τα μήκη $\alpha$ και $\beta$ είναι η:

$\begin{eqnarray*} &x^2 - 12 x + 40 = 0 \end{eqnarray*}$

η οποία έχει διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta_0 &=& (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 \\ &=& 144 -160 \\ &=& -16 < 0 \end{eqnarray*}$

Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη. Άρα δεν υπάρχει ορθογώνιο με εμβαδόν $40 ~cm^2$ και $8 ~cm.$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1478 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά