Α Λυκείου / ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1477 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1477 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού
3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Έχουμε την εξίσωση x^4 - 8x^2 - 9 = 0.

Αν θέσουμε όπου x^2 = u με u \geq 0.

Η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γίνεται u^2 - 8u - 9 = 0.

Έχουμε \alpha = 1, ~\beta = -8, ~\gamma = -9

οπότε το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

    \begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=&(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) \\ &=& 65 + 36 = 100 \end{eqnarray*}

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

    \begin{eqnarray*} x_{1, 2} &=& \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} \\ &=& \dfrac{8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} \\ &=& \dfrac{8 \pm 10}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{8 + 10}{2} = 9, ~\text{δεκτή} \\[5mm] \dfrac{8 - 10}{2} = -1, ~\text{απορρίπτεται} \end{array}\right. \end{eqnarray*}

Όμως έχουμε x^2 = u \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow |x| = 3 \Leftrightarrow x = \pm 3.

2.) Για την εξίσωση x^4 + \beta x^2 + \gamma = 0,

αν θέσουμε όπου x^2 = u με u \geq 0,

η αρχική εξίσωση ισοδύναμα γίνεται: u^2 + \beta u + \gamma = 0 ~(1).

2α.) Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα \Delta = \beta^2 - 4\gamma,

με \beta^2 \geq 0 και \gamma < 0,

άρα -\gamma > 0.

Συνεπώς \Delta > 0 ως άθροισμα ενός μη αρνητικού και ενός θετικού αριθμού.

2β.) Από τους τύπους Vieta το γινόμενο των ριζών της (1) είναι:

P = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \gamma < 0.

Άρα οι ρίζες u_1, u_2 είναι ετερόσημες.

Αν u_1 < 0, απορρίπτεται ενώ u_2 > 0 δεκτή.
Τότε έχουμε:
x^2 = u_2 \Leftrightarrow |x| = \sqrt{u_2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{u_2}.

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *