ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1476 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1476 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.)
Το τριώνυμο

$2 x^2 + \lambda x - 36$

έχει

$\alpha = 2, ~\beta = \lambda, ~\gamma = -36$

και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& \lambda^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-36) \\ &=& \lambda^2 + 288 \end{eqnarray*}$

Επειδή για κάθε $\lambda \in \mathbb{R}$ ισχύει $\Delta = \lambda^2 + 288 > 0$

η εξίσωση $(1)$ έχει πραγματικές ρίζες.

Αφού ο αριθμός $\rho$ είναι ρίζα της εξίσωσης $(1)$ ισχύει ότι:

$2\rho^2 +\lambda \rho - 36 = 0 ~(2).$

2.)

2a.)

Ο αριθμός $-\rho$ είναι ρίζα της εξίσωσης

$2x^2 - \lambda x - 36 = 0$

αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:

$\begin{eqnarray*} 2(-\rho)^2 - \lambda(-\rho) - 36 = 0 &\Leftrightarrow& 2\rho^2 + \lambda \rho - 36 = 0 \end{eqnarray*}$

που ισχύει λόγω της σχέσης $(2).$

2b.)

Έστω ότι $\rho = 0.$ Τότε από τη σχέση $(2)$ έχουμε

$2 \cdot 0^2 + \lambda \cdot 0 = -36 = 0 \Leftrightarrow -36 = 0,$

άτοπο. Άρα $\rho \neq 0.$

Ο αριθμός $\dfrac{1}{\rho}$ είναι ρίζα της εξίσωσης

$-36x^2 + \lambda x + 2 = 0$

αν και μόνο αν την επαληθεύει, δηλαδή αν και μόνο αν ισχύει:

$\begin{eqnarray*} -36\bigg(\dfrac{1}{\rho}\bigg)^2 + \lambda \dfrac{1}{\rho} + 2 = 0 &\Leftrightarrow& -36 \dfrac{1}{\rho^2} + \lambda \dfrac{1}{\rho} + 2 = 0 \\ &\Leftrightarrow& -36 +\lambda \rho + 2\rho^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow&2\rho^2 + \lambda \rho - 36 = 0 \end{eqnarray*}$

που ισχύει λόγω της σχέσης $(2).$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1476 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά