ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1475 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1475 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.)

Το τριώνυμο

$\lambda x^2 - (\lambda^2 + 1)x + \lambda$

έχει $\alpha =\lambda, ~\beta = -(\lambda^2 + 1), ~\gamma = \lambda$
και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\\\ &=& \big[-(\lambda^2 + 1)\big]^2 - 4 \cdot \lambda \cdot \lambda \\\\ &=& \lambda^4 + 2\lambda^2 + 1 -4\lambda \\\\ &=& \lambda^4 - 2\lambda^2 + 1 \\\\ &=& (\lambda^2 - 1)^2 \end{eqnarray*}$

Επειδή για κάθε $\lambda \in \mathbb{R} -\{0\}$ ισχύει $\Delta = (\lambda^2 - 1)^2 \geq 0$ το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες.

2.)
Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:

$S = x_1 + x_2 = - \dfrac{\beta}{\alpha} = -\dfrac{-(\lambda^2 + 1)}{\lambda} = \dfrac{\lambda^2 + 1}{\lambda}$

και

$P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{\lambda}{\lambda} = 1$

3.)

Επειδή είναι

$S = \dfrac{\lambda^2 + 1}{\lambda} > 0$

για
$\lambda > 0$ και $P =1 > 0$
οι ρίζες είναι θετικές.

4.) Είναι:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x_1 + x_2}{2} &=& \dfrac{S}{2} \\[3mm] &=& \dfrac{\frac{\lambda^2 + 1}{\lambda}}{2} \\[3mm] &=& \dfrac{\lambda^2 + 1}{2\lambda} \end{eqnarray*}$

Τότε:

$\begin{eqnarray*} \dfrac{x_1 + x_2}{2} - 1 &=& \dfrac{\lambda^2 + 1}{2\lambda} - 1 \\ &=& \dfrac{\lambda^2 + 1 - 2\lambda}{2\lambda} \\ &=& \dfrac{(\lambda - 1)^2}{2\lambda} > 0 \end{eqnarray*}$

διότι: $(\lambda - 1)^2 > 0$ για κάθε $\lambda \neq 1$ και $\lambda > 0$ από υπόθεση. Τελικά:

$\begin{eqnarray*} &\dfrac{x_1 + x_2}{2} - 1 > 0 \Leftrightarrow \dfrac{x_1 + x_2}{2} > 1 \end{eqnarray*}$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1475 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά