ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1474 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1474 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.)

Το τριώνυμο $\lambda x^2 - (\lambda^2 + 1) x + \lambda$ έχει $\alpha = \lambda, ~\beta = -(\lambda^2 + 1), ~\gamma = \lambda$ και διακρίνουσα:

$\begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& \big[-(\lambda^2 + 1)\big]^2 - 4 \cdot \lambda \cdot \lambda \\ &=& \lambda^4 + 2\lambda^2 + 1 - 4\lambda^2 \\ &=& \lambda^4 - 2\lambda^2 + 1 \\ &=& (\lambda^2 - 1)^2 \end{eqnarray*}$

Επειδή για κάθε $\lambda \in \mathbb{R} - \{0\}$ ισχύει $\Delta = (\lambda^2 - 1)^2 > 0$ το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες.
2.) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:

$S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = -\dfrac{-(\lambda^2 + 1)}{\lambda}$

και

$P = x_1 \cdot x_2 =\dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{\lambda}{\lambda} = 1.$

3.)
Επειδή είναι $S = \dfrac{\lambda^2 + 1}{\lambda} > 0$ για $\lambda > 0$ και $P = 1 > 0$ oι ρίζες είναι θετικές.

4.) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x_1 \cdot x_2} \leq \dfrac{x_1 + x_2}{2} &\xLeftrightarrow{\gamma'}& \sqrt{1} \leq \dfrac{\frac{\lambda^2 + 1}{\lambda}}{2} \\ &\Leftrightarrow& 1 \leq \dfrac{\lambda^2 + 1}{2\lambda} \\ &\xLeftrightarrow{(\lambda > 0)}& 2\lambda \leq \lambda^2 + 1 \\ &\Leftrightarrow& 0 \leq \lambda^2 - 2\lambda + 1 \\ &\Leftrightarrow& (\lambda - 1)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

το οποίο ισχύει για κάθε $\lambda > 0.$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1474 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά