ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4,ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1474 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1474 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού
4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.)

Το τριώνυμο \lambda x^2 - (\lambda^2 + 1) x + \lambda έχει \alpha = \lambda, ~\beta = -(\lambda^2 + 1), ~\gamma = \lambda και διακρίνουσα:

    \begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& \big[-(\lambda^2 + 1)\big]^2 - 4 \cdot \lambda \cdot \lambda \\ &=& \lambda^4 + 2\lambda^2 + 1 - 4\lambda^2 \\ &=& \lambda^4 - 2\lambda^2 + 1 \\ &=& (\lambda^2 - 1)^2 \end{eqnarray*}

Επειδή για κάθε \lambda \in \mathbb{R} - \{0\} ισχύει \Delta = (\lambda^2 - 1)^2 > 0 το τριώνυμο έχει πραγματικές ρίζες.
2.) Από τους τύπους Vieta βρίσκουμε:

    \[S = x_1 + x_2 = -\dfrac{\beta}{\alpha} = -\dfrac{-(\lambda^2 + 1)}{\lambda}\]

και

    \[P = x_1 \cdot x_2 =\dfrac{\gamma}{\alpha} = \dfrac{\lambda}{\lambda} = 1.\]

3.)
Επειδή είναι S = \dfrac{\lambda^2 + 1}{\lambda} > 0 για \lambda > 0 και P = 1 > 0 oι ρίζες είναι θετικές.

4.) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:

    \begin{eqnarray*} \sqrt{x_1 \cdot x_2} \leq \dfrac{x_1 + x_2}{2} &\xLeftrightarrow{\gamma'}& \sqrt{1} \leq \dfrac{\frac{\lambda^2 + 1}{\lambda}}{2} \\ &\Leftrightarrow& 1 \leq \dfrac{\lambda^2 + 1}{2\lambda} \\ &\xLeftrightarrow{(\lambda > 0)}& 2\lambda \leq \lambda^2 + 1 \\ &\Leftrightarrow& 0 \leq \lambda^2 - 2\lambda + 1 \\ &\Leftrightarrow& (\lambda - 1)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}

το οποίο ισχύει για κάθε \lambda > 0.

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *