ΜΕΤΑΞΥ ΠΟΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΟΙ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Λύση

i) Είναι : $2<x<4$ και $1<y<2$

προσθέτοντας κατά μέλη,

$\begin{align*} &\begin{cases} 2<x<4\\ 1<y<2 \end{cases} \xRightarrow[]{+}\\ 2+&1 < x+y < 4+2 \Rightarrow \\ 3 &< x+y < 6. \end{align*}$

άρα έχουμε: $3<x+y<6$

ii) Από υπόθεση έχουμε $2 <x<4$

Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη με το $+2$ και έχουμε:

$2 < x < 4 \xRightarrow []{* (+2)}2\cdot 2 < 2\cdot x < 2\cdot 4\Rightarrow 4 < 2\cdot x < 8$

Επίσης από υπόθεση: $1 < y < 2$

Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη με το $-3,$ (αλλάζοντας τη φορά της διάταξης) και έχουμε:

$\begin{align*} 1 & }} -3\cdot y{\color{red}{ >}} -3\cdot 2 \Rightarrow \\\\ -3 & > -3\cdot y > -6 \Rightarrow \\\\ -6 & < -3\cdot y < -3. \end{align*}$

προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε:

$\begin{align*} &\begin{cases} 4 < 2\cdot x < 8\\ -6 < -3\cdot y < -3 \end{cases} \xRightarrow[]{+}\\ 4-&6 < 2\cdot x- 3\cdot y < 8-3\Rightarrow \\ -2 &< 2\cdot x- 3\cdot y <5 \end{align*}$

ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Δεν μπορoύμε να αφαιρέσουμε, απευθείας, κατά μέλη διατάξεις παρά μόνο ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία.

iii) Είναι:

ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Για να υψώσουμε τα μέλη μια διάταξης(όπως και να τα πολλαπλασιάσουμε) θα πρέπει, τα μέλη, να είναι θετικοί αριθμοί (μη – αρνητικοί.)
Επίσης
$0< 1<y<2\Rightarrow \dfrac{1}{1}> \dfrac{1}{y}> \dfrac{1}{2}\Rightarrow \dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{y}<1$
ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Για να αντιστρέψουμε τα μέλη μια διάταξης θα πρέπει να είναι ομόσημοι αριθμοί οπότε αντιστρέφουμε και αλλάζει η φορά της διάταξης.

πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη, έχουμε:

$\begin{align*} &\begin{cases} 4<x^2<16 \\\\ \dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{y}<1 \end{cases}\xRightarrow[]{*}\\\\ 4&\cdot \dfrac{1}{2} < x^{2}\cdot \dfrac{1}{y} < 16 \cdot 1\\\\ &\quad 2 <\dfrac{x^2}{y}<16\\ \end{align*}$

ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Δεν μπορούμε να διαιρέσουμε κατα μέλη διατάξεις, αλλά πρέπει να ακολουθήσουμε την παραπάνω διαδικασία, με την αντιστροφή των μελών και στη συνέχεια του πολλαπλασιασμού

iv) Είναι:
$2<x<4\Rightarrow \dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{2}$
και
$1<y<2\Rightarrow \dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{y}<1$
προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε:

$\begin{align*} &\begin{cases} \dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{2}\\\\ \dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{y}<1 \end{cases}\xRightarrow[]{+}\\\\ \dfrac{1}{4}+& \dfrac{1}{2}<\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}<\dfrac{1}{2}+1 \Rightarrow\\\\ \dfrac{3}{4} & <\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}<\dfrac{3}{2} \end{align*}$

Η ΣΩΣΤΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΩΝ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Για να υψώσουμε τα μέλη μιας διάταξης στο τετράγωνο θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι όλα τα μέλη είναι θετικοί αριθμοί έχουμε:

$\begin{align*} & -5< x <-3 \Rightarrow \\\\ & -(-5)> -x > -(-3) \Rightarrow \\\\ & +5 > - x > +3 >0 \Rightarrow \\\\ & (+5)^2 > (-x) ^{2} >(+3)^{2} \Rightarrow \\\\ & 25 > x^{2} > 9 \Rightarrow \\\\ \end{align*}$

$9 < x^{2} < 25$

Προσοχή Εάν δεν εξασφαλίσουμε ότι όλα τα μέλη είναι θετικοί αριθμοί ή έστω το ένα μέλος μηδέν μπορεί να καταλήξουμε σε ψευδή συμπεράσματα.
πχ:

$\xcancel{ -6 < x < 4 \Rightarrow (- 6)^{2} < x^{2} < 4^{2} \Rightarrow 36 < x < 16 }$

Με το ίδιο σκεπτικό πρέπει να έχουμε εξασφαλίσει ότι όλα τα μέλη είναι θετικοί αριθμοί για να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη διατάξεις, γιατί σε αντίθετη περίπτωση μπορεί να καταλήξουμε σε σε ψευδή συμπεράσματα

πχ:

$\begin{cases} -3 < x <2 \\\\ -4 < y < 1 \end{cases}\xRightarrow[]{*}$

$\xcancel{\Rightarrow (-3)\cdot(-4) < x\cdot y < 2\cdot 1 \Rightarrow -12 < xy < 2 }$

ii) Για να αντιστρέψουμε τα μέλη μιας διάταξης θα πρέπει να εξασφαλίσουμε οτι όλα τα μέλη είναι ομόσημοι αριθμοί, οπότε αντιστρέφουμε και αλλάζουμε τη φορά της διάταξης.

$\begin{align*} -5 < x < -3 &\Leftrightarrow -\dfrac{1}{5} > \dfrac{1}{x} > - \dfrac{1}{3} \\\\ &\Leftrightarrow -\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{x} < - \dfrac{1}{5}. \end{align*}$

Σε περίπτωση που τα μέλη μιας διάταξης είναι ετερόσημοι
π.χ.

$-2 < x < 3$

το $x$ μπορει να πάρει τη τιμή μηδέν $0$ οπότε δεν μπορούμε να αντιστρέψουμε δηλαδή:

$\xcancel{-\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{x } < + \dfrac {1}{3}}$

αφού υπάρχει περίπτωση ο παρονομαστής να πάρει την τιμή μηδέν $0 .$

Βιβλιογραφία: i-tutor – Αποστόλου Γεώργιος, Άλγεβρα Α’ Λυκείου εκδόσεις Bookstars.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΜΕΤΑΞΥ ΠΟΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΟΙ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

ΜΕΤΑΞΥ ΠΟΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΟΙ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Η ΣΩΣΤΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΩΝ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά