Α Λυκείου / ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 4

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1470 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1470 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 4 ΤΕΤΑΡΤΟΥ
Για να μελετήσετε την παρούσα άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε την αντίστοιχη θεωρία η οποία βρίσκεται στους παρακάτω συνδέσμους:

4.2 Ανισώσεις δευτέρου βαθμού
6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.)

Για \alpha = 1 ο τύπος της g γράφεται: g(x) = x + 1, ~x \in \mathbb{R}.
Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το \mathbb{A} = \mathbb{R} και η g το \mathbb{B} = \mathbb{R}. Τα σημεία τομής τους προκύπτουν από τη λύση του συστήματος: y = f(x) και y = g(x). Είναι:

    \begin{eqnarray*} f(x) = g(x) &\Leftrightarrow& x^2 +1 = x + 1 \\ &\Leftrightarrow& x^2 - x = 0 \\ &\Leftrightarrow& x(x - 1) = 0 \\ &\Leftrightarrow& (x = 0 ~\text{ή} ~x - 1 = 0) \\ &\Leftrightarrow& (x = 0 ~\text{ή} ~x = 1) \end{eqnarray*}

Για x = 0 είναι g(0) = 0 + 1 = 1.
Για x = 1 είανι g(1) = 1 + 1 = 2.
Επομένως τα σημεία τομής των C_f και C_g είναι τα: Α(0, 1) και B(1, 2).

2.)

Οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνονται σε δύο σημεία αν και μόνο αν η εξίσωση f(x) = g(x) έχει δύο λύσεις. Τότε:

    \begin{eqnarray*} f(x) = g(x) &\Leftrightarrow& x^2 + 1 = x + \alpha \\ &\Leftrightarrow& x^2 - x + 1 - \alpha = 0 ~(1) \end{eqnarray*}

Το τριώνυμο έχει διακρίνουσα:

    \begin{eqnarray*} \Delta &=& \beta^2 - 4\alpha\gamma \\ &=& (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - \alpha) \\ &=& 4\alpha - 3 \end{eqnarray*}

Για να έχει λοιπόν η εξίσωση (1) δύο λύσεις πρέπει:

    \begin{eqnarray*} \Delta > 0 &\Leftrightarrow& 4\alpha - 3 \\ &\Leftrightarrow& 4\alpha > 3 \\ &\Leftrightarrow& \alpha > \dfrac{3}{4} \end{eqnarray*}

3.)

Επειδή \alpha > 1 > \dfrac{3}{4} η εξίσωση (1) έχει δύο ρίζες τις x_1, x_2.
Από τους τύπους του Vieta βρίσκουμε:
P = x_1 \cdot x_2 = \dfrac{\gamma}{\alpha} = 1 - \alpha < 0.
Οπότε οι τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων των f και g είναι ετερόσημες.

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *