ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7

Rendered by QuickLaTeX.com

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

$\textbf{Διατύπωση}(2018)$
Έστω $f$ μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα $[\alpha, \beta].$ Αν $G$ είναι μια αρχική της $f$ στο $[\alpha, \beta],$ να αποδείξετε ότι

$\int_{\alpha}^{\beta} f(t) ~dt = G(\beta) - G(\alpha)$

$\textbf{Απόδειξη} (E2002, E2008, 2013)$
Η συνάρτηση $F(x) = \displaystyle\int_{\alpha}^{x} f(t) ~dt$ είναι μια παράγουσα της $f$ στο $[\alpha, \beta],$ και επειδή η $G$ είναι και αυτή παράγουσα, τότε θα υπάρχει $c \in \mathbb{R}$ ώστε $G(x) = F(x) + c.$
Για $x = \alpha$ έχουμε:

$G(\alpha) = F(\alpha) +c \Leftrightarrow G(\alpha) = \int _{\alpha}^{\alpha} f(t) ~dt+ c \Leftrightarrow G(\alpha) = 0 + c$

Συνεπώς $G(\alpha) = c$
Άρα $G(x) = F(x) + G(\alpha)$ και για $x = \beta,$ έχουμε

$G(\beta) = F(\beta) + G(\alpha) = \int_{\alpha}^{\beta} f(t) ~dt + G(\alpha)$

και τελικά

$\int_{\alpha}^{\beta} f(t) ~dt = G(\beta) - G(\alpha)$

Η διαφορά $G(\beta) - G(\alpha),$ γράφεται συμβολικά σαν $\bigg[G(x)\bigg]_{\alpha}^{\beta}.$

ΠΡΟΣΟΧΗ. Ο υποψήφιος των πανελλήνιων εξετάσεων θα πρέπει απλά να να συμβουλεύεται τη συγκεκριμένη ερώτηση – απάντηση θεωρίας και να διαβάζει τη θεωρία απο το σχολικό βιβλίο από το οποίο θα εξετασθεί.
Βιβλιογραφία:
1.) Αποστόλου Γεώργιος Μαθηματικός M.Sc. www.i-tutor.gr

2.)Σχολικό Βιβλίο Μαθηματικά Γ. τάξης γενικού λυκείου ομάδα προσανατολισμού Β. μέρος.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά