ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ

Print Friendly, PDF & Email

Ιδιότητες της Απόλυτης Τιμής

Ιδιότητα 1: Μη Αρνητικότητα
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα μη αρνητική.

    \[\textcolor{black}{|x| \ge 0} \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}\]

Παράδειγμα: \textcolor{violet}{|-5| = 5}, \textcolor{violet}{|7| = 7}

Ιδιότητα 2: Ταυτότητα της Απόλυτης Τιμής
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι μηδέν αν και μόνο αν ο αριθμός είναι μηδέν.

    \[\textcolor{black}{|x| = 0} \quad \text{αν και μόνο αν } x = 0\]

Παράδειγμα: \textcolor{violet}{|0| = 0}, \textcolor{violet}{|2| = 2 \neq 0}

Ιδιότητα 3: Απόλυτη Τιμή του Γινομένου
Η απόλυτη τιμή του γινομένου δύο αριθμών είναι ίση με το γινόμενο των απόλυτων τιμών τους.

    \[\textcolor{black}{|x \cdot y| = |x| \cdot |y|} \quad \text{για κάθε } x, y \in \mathbb{R}\]

Παράδειγμα:
είναι

    \[\textcolor{violet}{|(-3) \cdot 4| = |-12| = 12}\]

και

    \[\textcolor{violet}{|-3| \cdot |4| = 3 \cdot 4 = 12}\]

άρα

    \[\textcolor{violet}{ |(-3) \cdot 4| =|-3| \cdot |4| = 12 }\]

Ιδιότητα 4: Απόλυτη Τιμή του Πηλίκου
Η απόλυτη τιμή του πηλίκου δύο αριθμών είναι ίση με το πηλίκο των απόλυτων τιμών τους, εφόσον ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.

    \[\textcolor{black}{\bigg | \dfrac{x}{y}\bigg | = \frac{|x|}{|y|}} \quad \text{για κάθε } x, y \in \mathbb{R} \text{ με } y \neq 0\]

Παράδειγμα:
ειναι

    \[\textcolor{violet}{\bigg | \dfrac{-6}{3} \bigg | =\bigg | - \dfrac{6}{3} \bigg| =\dfrac{6}{3}= 2}\]

και

    \[\textcolor{violet}{\dfrac{|-6|}{|3|}=\dfrac{6}{3}= 2}\]

άρα

    \[\textcolor{violet}{ \bigg | \dfrac{-6}{3} \bigg |= \dfrac{|-6|}{|3| } =2 }\]

Ιδιότητα 5: Απόλυτη Τιμή του Τετραγώνου
Η απόλυτη τιμή του τετραγώνου ενός αριθμού είναι ίση με το τετράγωνο της απόλυτης τιμής του αριθμού.

    \[\textcolor{black}{|x|^2 = (x)^2} \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}\]

Παράδειγμα:
είναι

    \[\textcolor{violet}{|-4|^2=(+4)^2=16}\]

και

    \[\textcolor{violet}{(-4)^2=16 }\]

άρα

    \[\textcolor{violet}{|-4|^2=(-4)^2=16}\]

Ιδιότητα 6: Σύγκριση της Απόλυτης Τιμής με τον Αριθμό και το Αντίθετο
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση από τον αριθμό και το αντίθετό του.

    \[\textcolor{black}{|x| \ge x}\]

    \[\textcolor{black}{|x| \ge -x}\]

Παράδειγμα: \textcolor{violet}{|-5| \ge -5} και \textcolor{violet}{|-5| \ge 5} (διότι \textcolor{violet}{|-5| = 5})

Ιδιότητα 7: Ιδιότητα Τριγώνου (Ανισότητα Τριγώνου)
Η απόλυτη τιμή του αθροίσματος δύο αριθμών είναι μικρότερη ή ίση με το άθροισμα των απόλυτων τιμών τους.

    \[\textcolor{black}{|x + y| \le |x| + |y|} \quad \text{για κάθε } x, y \in \mathbb{R}\]

Το = ισχύει για x,y ομόσημους ή εάν ένα τουλάχιστον απο τα x,y ισούται με μηδεν 0

Παράδειγμα: \textcolor{violet}{|-3 + 4| = |1| = 1} και \textcolor{violet}{|-3| + |4| = 3 + 4 = 7}, επειδή

    \[\textcolor{violet}{1 < 7}\]

άρα

    \[\textcolor{violet}{|-3 + 4| < |-3| + |4|}\]

Ιδιότητα 8: Ιδιότητα Τριγώνου (Αντίστροφη)
Η απόλυτη τιμή της διαφοράς των απόλυτων τιμών δύο αριθμών είναι μικρότερη ή ίση με την απόλυτη τιμή της διαφοράς τους.

    \[\textcolor{black}{\Bigg||x| - |y|\Bigg| \le |x - y|} \quad \text{για κάθε } x, y \in \mathbb{R}\]

Το = ισχύει οταν τα x, \,y ειναι ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί ή οταν τουλαχιστον ενα απο τα x, \,yισούται με μηδεν

Παράδειγμα:
είναι

    \[\textcolor{violet}{\Bigg||-4| - |+2|\Bigg| = |4 - 2| = 2}\]

και

    \[\textcolor{violet}{|-4 -(+ 2)|=|-4-2| = |-6| = 6}\]

επειδή

    \[\textcolor{violet}{2 < 6}\]

έχουμε

    \[\textcolor{violet}{\Bigg||-4| - |+2|\Bigg| < \bigg|(-4) -(+ 2)\bigg|}\]

Ιδιότητα 9:Τριγωνική ανισότητα για τους πραγματικούς αριθμούς
Συνδυάζοντας τις ιδιότητες 7 και 8 μπορούμε να τις γάψουμε σε μια διπλή διάταξη.
Για κάθε x,y \in \rr ισχύει:

    \[\Big||x| - |y|\Big|\le |x \pm y| \le |x| + |y|\]

Ιδιότητα 10: Απόλυτη Τιμή του Αντίθετου
Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι ίση με την απόλυτη τιμή του αντίθετου αριθμού.

    \[\textcolor{black}{|-x| = |x|} \quad \text{για κάθε } x \in \mathbb{R}\]

Παράδειγμα: \textcolor{violet}{|-7| =  7} και \textcolor{violet}{|7| = 7}
δηλαδή:

    \[{\textcolor{violet}|-7| =|7|.}\]

Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *