Άθροισμα απολύτων διάφορο του μηδενός

Άθροισμα απολύτων διάφορο του μηδενός

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση:

Για να λύσετε την παραπάνω άσκηση θα πρέπει να ξέρετε τον ορισμό και την έννοια της απόλυτης τιμής

Αν $x, y \in \mathbb{R}$ και ισχύει $|x| + |y| \neq 0$ , τότε μπορούμε να καταλήξουμε στο εξής συμπέρασμα:

Τουλάχιστον ένας από τους $x$ ή $y$ δεν είναι μηδενικός, δηλαδή $x \neq 0$ ή $y \neq 0$ (ή και τα δύο).

Αιτιολόγηση:

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητική
( $|x| \geq 0$ και $|y| \geq 0$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}.$ )
Το άθροισμα $|x| + |y|$ είναι μηδέν μόνο όταν $x = 0$ και $y = 0$ .
Άρα, αν $|x| + |y| \neq 0$ , τότε είναι αδύνατον και οι δύο $x$ και $y$ να είναι μηδέν ταυτόχρονα.
Τουλάχιστον ένας από αυτούς πρέπει να είναι διαφορετικός από το μηδέν.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση:

Αν $x, y \in \mathbb{R}$ και ισχύει η σχέση $|x - 2| + |y + 1| \neq 0$ , τότε μπορούμε να βγάλουμε το εξής συμπέρασμα:

Τουλάχιστον ένας από τους $x - 2$ ή $y + 1$ δεν είναι μηδενικός, δηλαδή $x \neq 2$ ή $y \neq -1$ (ή και τα δύο).

Αιτιολόγηση:
Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητική
( $|x - 2| \geq 0$ και $|y + 1| \geq 0$ για κάθε $x, y \in \mathbb{R}.$ )
Το άθροισμα $|x - 2| + |y + 1|$ είναι μηδέν μόνο όταν $x - 2 = 0$ και $y + 1 = 0$ , δηλαδή όταν $x = 2$ και $y = -1.$
Άρα, αν $|x - 2| + |y + 1| \neq 0$ , τότε είναι αδύνατον και οι δύο συνθήκες να ισχύουν ταυτόχρονα. Τουλάχιστον μία από τις παρακάτω συνθήκες πρέπει να ισχύει:

$x \neq 2 \quad {\text{ή}} \quad y \neq -1.$

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

Η ανίσωση $|x-1| + |x^{2}-1| + |x^2-3x+2| \neq 0$ απαιτεί να βρούμε τους πραγματικούς αριθμούς $x$ για τους οποίους το άθροισμα των απολύτων τιμών δεν είναι ίσο με μηδέν.

1. Αρχικά, για να είναι το άθροισμα των απολύτων τιμών μηδέν, κάθε μία από τις απολύτες τιμές πρέπει να είναι μηδέν.

2. Οπότε, για να ισχύει το $|x-1| = 0$ , έχουμε:

$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

3. Για να ισχύει το $|x^{2}-1| = 0$ , έχουμε:

$x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 1 \text{ ή } x = -1$

4. Για να ισχύει το $|x^2-3x+2| = 0$ , υπολογίζουμε τις ρίζες του τριωνύμου $x^2 - 3x + 2$ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της διακρίνουσας:

Η διακρίνουσα $\Delta$ δίνεται από τον τύπο:

$\Delta = b^2 - 4ac$

όπου για το τριώνυμο $ax^2 + bx + c$ , έχουμε $a = 1$ , $b = -3$ και $c = 2$ .

Υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

$\Delta = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$

Άρα οι ρίζες είναι:

$x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \quad \text{και} \quad x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$

Επομένως, $|x^2 - 3x + 2| = 0$ όταν $x = 1$ ή $x = 2$ .

5. Για το άθροισμα των απολύτων τιμών να είναι μηδέν, θα πρέπει και οι τρεις απολύτες τιμές να είναι μηδέν ταυτόχρονα. Αυτό θα συμβεί μόνο όταν $x = 1$ .

6. Εξετάζουμε την περίπτωση $x = 1$ :

$|x - 1| = |1 - 1| = 0, \quad |x^{2} - 1| = |1 - 1| = 0$

και

$|x^2 - 3x + 2| = |1^2 - 3\cdot 1 + 2| =|1-3+2|=|-2+2|=0.$

Όλες οι απολύτες τιμές μηδενίζονται όταν $x = 1$ .

7. Άρα, για το άθροισμα να μην είναι μηδέν, το $x$ πρέπει να είναι διαφορετικό από το 1.

Απάντηση: Ο πραγματικός αριθμός $x$ πρέπει να είναι οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το 1, δηλαδή $x \neq 1$ .

Ασκήσεις για λύση

-Ασκ.1-
Αν $\alpha, \beta \in \rr$ και ισχύει $|\alpha|+ |\beta|\neq 0,$ να αποδείξετε ότι $\alpha, \, \beta$ είναι μή μηδενικοί.

-Ασκ.2-
Τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε για τα $\apha, \beta \in \rr$ ώστε:

$|\alpha-4|+ |\beta-2|\neq 0$

-Ασκ.3-
Τι συμπέρασμα μπορούμε να βγάλουμε για τα $x , y \in \rr$ ώστε:

$|x-4|+ |2y-2|\neq 0$

-Ασκ.4-
Να βρεθεί το $x, \in \rr$ ώστε:

$|x-2| +|x^{2}-4|\neq 0$

-Ασκ.5-
Να βρεθεί το $x, \in \rr$ ώστε:

$|x-1| +|x^{2}-5x+4|\neq 0$

-Ασκ.6-
Να βρεθεί το $x, \in \rr$ ώστε:

$|x| +|x^{2}-2x|\neq 0$

-Ασκ.7-
Να δειχθεί ότι για κάθε $x, \in \rr$ ισχύει:

$|x-1| +|x^{2}-9|\neq 0$

-Ασκ.8-
Να δειχθεί ότι για κάθε $x, \in \rr$ ισχύει:

$|x^{2}+1| \neq 0$

-Ασκ.9-
Να δειχθεί ότι για κάθε $x, \in \rr$ ισχύει:

$\big| |x|+9 \big| \neq 0$

Βιβλιογραφία:
ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΝΑΚΗΣ εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

Άθροισμα απολύτων διάφορο του μηδενός

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά