Άθροισμα απολύτων ίσο με μηδέν

Λύση:

Για να λύσετε την παραπάνω άσκηση θα πρέπει να γνωρίζετε τον ορισμό και την έννοια της απόλυτης τιμής

Η εξίσωση που δίνεται είναι:

   

Για να είναι το άθροισμα δύο απόλυτων τιμών ίσο με μηδέν, κάθε ένας από τους όρους πρέπει να είναι ίσος με μηδέν, καθώς η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα μη αρνητική (μηδέν ή θετική.)

• Από την πρώτη απόλυτη τιμή, έχουμε:

     

  Άρα, , δηλαδή:

     

• Από τη δεύτερη απόλυτη τιμή, έχουμε:

     

  Άρα, , δηλαδή:

     

Επομένως, η λύση της εξίσωσης είναι το ζεύγος .
Αυτή είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης, καθώς είναι η μόνη περίπτωση όπου το άθροισμα των δύο απόλυτων τιμών μπορεί να είναι μηδέν.

Λύση

Η εξίσωση που δίνεται είναι:

   

Για να είναι το άθροισμα δύο απόλυτων τιμών ίσο με το μηδέν, κάθε ένας από τους όρους πρέπει να είναι ίσος με το μηδέν, επειδή η απόλυτη τιμή ενός αριθμού είναι πάντα μη αρνητική (μηδέν ή θετική.)

•  Από την πρώτη απόλυτη τιμή, έχουμε:
  

     

  
  Άρα, , δηλαδή:
  

     

•  Από τη δεύτερη απόλυτη τιμή, έχουμε:
  

     

  
  Άρα,

     

  
  Αντικαθιστώντας την τιμή της από το προηγούμενο βήμα:
  

     

  
  Δηλαδή:
  

     

  
  Άρα:
  

     

Επομένως, η λύση της εξίσωσης είναι το ζεύγος .

Αυτή είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης, καθώς είναι η μόνη περίπτωση όπου το άθροισμα των δύο απόλυτων τιμών μπορεί να είναι μηδέν.

———————-

Λύση

Για να βρούμε τα και ώστε να ισχύει η εξίσωση:

   

σημειώνουμε ότι μπορούμε να γράψουμε το δεξί μέλος ως:

   

Έτσι, η εξίσωση γίνεται:

   

Αφαιρούμε και από τις δύο πλευρές:

   

Απλοποιώντας, έχουμε:

   

Επειδή το άθροισμα δύο απόλυτων τιμών είναι μηδέν μόνο αν κάθε απόλυτη τιμή είναι μηδέν, έχουμε:

• • Από την πρώτη εξίσωση:

   

Άρα:

   

   

• •  Από τη δεύτερη εξίσωση:

   

Άρα:

   

   

Αντικαθιστούμε στην εξίσωση :

   

Άρα:

   

### Συμπέρασμα

Η λύση της εξίσωσης είναι:

   

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ

Για τις παρακάτω ασκήσεις θα πρέπει να γνωρίζετε

Επίλυση εξισώσεων πρώτου βαθμού
Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού
Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου
Επίλυση γραμμικών συστημάτων

Βιβλιογραφία:
ΣΤΕΡΓΙΟΥ – ΝΑΚΗΣ εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .