ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α) ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Η προβολή του σημείου $Α(3, 1)$ πάνω σην ευθεία $(\epsilon)$ είναι το σημείο τομής $B,$ της ευθείας $(\epsilon)$ με τη ευθεία $(\zeta),$ όπου $(\zeta)$ η ευθεία που διέρχεται απο το $A(3,1)$ και τέμνει την $(\epsilon)$ κάθετα.

ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Β ΕΙΝΑΙ Η ΠΡΟΒΟΛΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Α ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ (ε)

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

Θα βρούμε αρχικά την εξίσωση της ευθείας $(\zeta)$ που διέρχεται από το σημείο $Α(3, 1)$ και είναι κάθετη στην $(\epsilon).$

Έχουμε:

$(\epsilon )\perp (\zeta) \Leftrightarrow$

$\lambda_{\epsilon} \cdot\lambda_{\zeta} = -1.$

Αλλά $(\epsilon): y =\dfrac{1}{2}\cdot x - 3\Leftarrow \lambda_{_{\epsilon}} =\dfrac {1}{2}$ οπότε έχουμε:

$\dfrac{1}{2}\cdot \lambda_{\zeta} = - 1 \Leftrightarrow$

$\dfrac{\lambda_{\zeta}}{2} = - 1 \Leftrightarrow$

$\lambda_{\zeta} = -2$

Επίσης το σημείο $Α(3, 1)$ ανήκει στην ευθεία $(\zeta)$ έχουμε:

$Α(3, 1)\in (\zeta): \mathrm{y} - \mathrm{y}_{A} = \lambda_{\zeta}(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{A})$

Άρα η εξίσωση της ευθείας $(\zeta)$ είναι:

$(\zeta): \mathrm{y} - 1 = -2(\mathrm{x} - 3) \Leftrightarrow$

$(\zeta):\mathrm{y} - 1 = -2\mathrm{x} + 6 \Leftrightarrow$

$(\zeta):\mathrm{y} = -2\mathrm{x} + 6 + 1 \Leftrightarrow$

$(\zeta):\mathrm{y} = -2\mathrm{x} +7.$

ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΜΗΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ

Η προβολή $Β(x_{B},y_{B})$ του σημείου $Α$ στην ευθεία $(\epsilon)$ είναι το σημείο τομής των ευθειών $(\epsilon)$ και $(\zeta)$ και έχει συντεταγμένες τη λύση του συστηματος.

$\left\{\begin{array}{l}{(\epsilon):\mathrm{y}=\dfrac{1}{2} \mathrm{x}-3} \\\\\ (\zeta):{\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{ 2\cdot\mathrm{y}=2\cdot\dfrac{1}{2} \mathrm{x}-2\cdot3} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{ 2\cdot\mathrm{y}= \mathrm{x}-6} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{ 2\cdot(-2\mathrm{x}+7)= \mathrm{x}-6} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{ -4\mathrm{x}+14= \mathrm{x}-6} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{ -4\mathrm{x}-\mathrm{x}= -6-14} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{ -5\mathrm{x}= -20} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{ \mathrm{x}= \dfrac{-20}{-5}} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{ \mathrm{x}= 4} \\\\ {\mathrm{y}=-2\mathrm{x}+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{ \mathrm{x}= 4} \\\\ {\mathrm{y}=-2\cdot 4+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{ \mathrm{x}= 4} \\\\ {\mathrm{y}=-8+7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow$

$\left\{\begin{array}{l}{ \mathrm{x}= 4} \\\\ {\mathrm{y}=-1}\end{array}\right\}.$

Άρα η προβολή του σημείου $A$ στην ευθεία $\epsilon$ είνα το σημείο

$Β(4, -1).$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

α) ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΜΗΣ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά