ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1316 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους,
3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
1.) Είναι:

$\begin{align*} & ~\alpha^3 \beta + 2\alpha^2 \beta^2 + \alpha \beta^3 = -12 \Leftrightarrow \\ & ~\alpha \beta (\alpha^2 + 2\alpha \beta + \beta^2) = -12 \Leftrightarrow \\ & ~\alpha \beta (\alpha + \beta)^2 = -12 \Leftrightarrow \\ & ~\alpha \beta \cdot (-1)^2 = -12 \Leftrightarrow \\ & ~\alpha \beta = -12 \end{align*}$

2.) Η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής:

$x^2 - S x + P = 0$

με

$S = \alpha + \beta = -1 \quad \text{και} \quad P = \alpha \beta = -12$

Τελικά η ζητούμενη εξίσωση είναι η:

$x^2 + x - 12 = 0$

Για $\alpha = 1, \beta = 1$ και $\gamma = -12,$ βρίσκουμε:

$\Delta = \beta^2 - 4\alpha\gamma = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 > 0$

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

$x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-1 \pm 7}{2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{-1 + 7}{2} = 3\\[5mm] \dfrac{-1 - 7}{2} = -4 \end{array}\right.$

Άρα είναι:

$(\alpha = 3 \quad \text{και} \quad \beta = -4) \quad \text{ή} \quad (\alpha = -4 \quad \text{και} \quad \beta = 3)$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1316 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά