Αρχείο κατηγορίας ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ – ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

Γ Λυκείου,ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ,ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Έστω μια συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και 1-1. Για τον υπολογισμό του ορισμένου ολοκληρώματος της αντίστροφης συνάρτησης της μορφής

    \[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx\]

όπου ο υπολογισμός της αντίστροφης είναι αδύνατος, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

  • θέτουμε u =f^{-1}(x)\Rightarrow f(u) = x, οπότε f'(u)du = dx

    • Βρίσκουμε τα άκρα ολοκλήρωσης:

  • για x=\alpha έχουμε: f(u) = \alpha \Leftrightarrow f(u) = f(\gamma)\Leftrightarrow u = \gamma.
  • για x=\beta έχουμε: f(u) = \beta \Leftrightarrow f(u) = f(\delta)\Leftrightarrow u = \delta.

    •     \[\int_{\alpha }^{\beta} f^{-1}(x)\, dx =\int_{\gamma}^{ \delta} u \cdot f'(u)\, du\]

    Και συνεχίζουμε την επίλυση με τη μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου,ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ,ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

    2 σχόλια

    Παράδειγμα.1.
    Να λυθεί το ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \hm^{2}x \cdot \syn x \, dx.\]

    Λύση

    Στο ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \hm^{2}x \cdot \syn x \, dx.\]

    Θέτουμε \hm x =u.
    Οπότε:

    Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ →

    Γ Λυκείου,ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

    ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ

    Σχολιάστε

    Στο ορισμένο ολοκλήρωμα που ακολουθεί, θα υπολογισθεί εφαρμόζοντας την παραγοντική ολοκλήρωση, κάνοντας χρήση του τεχνάσματος της προσθαφαίρεσης της εκθετικής συνάρτησης

        \[{\bf{e^{x}}}.\]


    Παράδειγμα
    Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα

        \[Ι = \int_{0}^{1} \dfrac{\ln (1+e^{x})}{e^{x}}dx.\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΤΕΧΝΑΣΜΑ ΤΗΣ ΠΡΟΣΘΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΤΗΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ →

    Γ Λυκείου,ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

    ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕ ΑΝΑΓΩΓΙΚΟ ΤΥΠΟ

    Σχολιάστε

    Στις περιπτώεις που έχουμε αναγωγικό τύπο στο ορισμένο ολοκλήρωμα εφαρμόζουμε την μέθοδο της παραγοντικής ολοκλήρωσης, όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί:
    Παράδειγμα.
    Έστω το ορισμένο ολοκλήρωμα:

        \[I_{\nu} =\int_{0}^{1} x^{\nu} \cdot e^{x} \, dx \quad \text{με } \,\,\, \nu \in \mathbb{N^{*}}\]


    i) Να αποδείξετε ότι: I_{\nu} =e -\nu I_{\nu-1} για κάθε \nu \geq 2.
    ii) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα:
    \quad \quad \quad \dint_{0}^{1} xe^{x}\, dx και \dint_{0}^{1} x^{4}e^{x}\, dx.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΕ ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕ ΑΝΑΓΩΓΙΚΟ ΤΥΠΟ →

    Γ Λυκείου,ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

    ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

    Σχολιάστε

    Η παραγοντική ολοκλήρωση είναι σημαντική μέθοδος για τον υπολογισμό σύνθετων περιπτώσεων ολοκληρωμάτων

        \[ \begin{tabular}{r l r r r c r} $ 1.)\dint_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x}{\hm^{2} x}\, dx.$ & & & 2.)$\dint_{0}^{\frac{\pi}{3}}\dfrac{x-\hm x}{\syn^{2}x}dx$ & & & \\\\ & & & & & & \\\\ 3.)$\dint_{1}^{4}\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}\, dx$ & & & 4.)$ \dint_{\frac{1}{e}}^{1}\dfrac{\ln x}{x^{2}}dx.$ & & & \\ \end{tabular}\\ \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου,ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

    ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΠΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ

    Σχολιάστε
    Για τα ολοκληρώματα της μορφής

        \[\int_{\alpha}^{\beta} e^{\kappa x+\lambda}\hm(\mu x+\nu )dx \,\,\, \text{ή} \int_{\alpha}^{\beta} e^{\kappa x+\lambda}\syn(\mu x+\nu)dx\]

    όπου \kappa, \mu\in\rr^*μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας είτε τον εκθετικό είτε το τριγωνομετρικό όρο ως παράγωγο μιας αρχικής του. Συγκεκριμένα:

        \[ e^{\kappa x+\lambda}=\bigg(\dfrac{ e^{\kappa x+\lambda}}{\kappa}\bigg)'\]

        \[ \hm(\mu x+\nu)=\bigg(-\dfrac{\syn(\mu x+\nu)}{\mu}\bigg)'\]

        \[ \syn(\mu x+\nu)=\bigg(\dfrac{\hm(\mu x+\nu)}{\mu}\bigg)' \]

    Συνήθως σε ολοκληρώματα αυτής της μορφής εφαρμόζουμε την παραγοντική ολοκλήρωση περισσότερες απο μία φορές και εμφανίζεται ξανά το αρχικό ολοκλήρωμα I. Εξισώνουμε τότε το I με το τελικό αποτέλεσμα και λύνουμε ως προς I.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΠΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ →

    Γ Λυκείου,ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

    ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΕΠΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ

    Σχολιάστε
    Τα ολοκληρώματα της μορφής γινομένου, πολυωνυμικής επι λογαριθμικής

        \[\int_{\alpha}^{\beta} P(x)\ln(\kappa x)dx,\]

    με \kappa\in\rr^* και P(x) ένα πολυώνυμο, μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας το πολυώνυμο ως παράγωγο μιας αρχικής του.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗΣ ΕΠΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ →

    Γ Λυκείου,ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

    ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΗΜΙΤΟΝΟ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ

    1 σχόλιο
    Έστω \kappa\in\rr^* και P(x) ένα πολυώνυμο. Ολοκληρώματα της μορφής

        \[\int_{\alpha}^{\beta} P(x)\hm(\kappa x+\lambda)dx \quad \text{ή} \quad \int_{\alpha}^{\beta} P(x)\syn(\kappa x+\lambda)dx\]

    μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια της παραγοντικής ολοκλήρωσης, γράφοντας το τριγωνομετρικό όρο ως παράγωγο μιας αρχικής του. Συγκεκριμένα είναι

        \[ \hm(\kappa x+\lambda)=\Bigg(-\dfrac{\syn(\kappa x+\lambda)}{\kappa}\Bigg)' \]

    ΚΑΙ

        \[\syn(\kappa x+\lambda)=\Bigg(\dfrac{\hm(\kappa x+\lambda)}{\kappa}\Bigg)' \]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΗΜΙΤΟΝΟ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ →

    Γ Λυκείου,ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

    ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ

    3 σχόλια

    Η μέθοδος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες ή παραγοντική ολοκλήρωση για το ορισμένο ολοκλήρωμα εκφράζεται απο τον τύπο:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f(x)g'(x)dx=\Big{[}f(x)g(x)\Big{]}^{\beta}_{\alpha}-\int_{\alpha}^{\beta} f'(x)g(x)dx\]

    όπου f' και g' είναι συνεχής συναρτήσεις στο [\alpha,\beta].


    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΕΠΙ ΕΚΘΕΤΙΚΗ →