Αρχείο ετικέτας ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Σχολιάστε

Σε σύνθετες περιπτωσεις υπολογισμού ορισμένου ολοκληρώματος \dint_{\alpha}^{\beta} f(x) \, dx χρησιμοποιούμε το άθροισμα των άκρων στην ολοκλήρωση με αντικατάσταση, ως εξής:

    \[x = \alpha +\beta - u.\]

οπότε έχουμε:

    \[dx = (\alpha + \beta -u)' du \Rightarrow dx = -du.\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΤΟ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΩΝ ΑΚΡΩΝ ΣΤΗΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ →

Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

Σχολιάστε

Στα ολοκληρώματα ρητής ή άρρητηςσυνάρτησης όπου η μεταβλητή x εμφανίζεται μόνο ως x^{2} αρκετές φορές χρειάζεται να κάνουμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου ή της εφαπτομένης αξιοποιόντας την ταυτότητα \hm^{2}x+ \syn^{2}x =1.

Τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου


Για υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα της μορφής

    \[\int_{\kappa}^{\lambda} f\Big( x, \sqrt{\beta^{2} -\alpha^{2}x^{2}}\Big)\, dx.\]

Χρησιμοποιούμε την τριγωνομετρική αντικατάσταση του ημιτόνου δηλαδή:

    \[\text{Θέτουμε } \quad x = \dfrac{\beta}{\alpha}\cdot \hm u \quad \text{με} \quad u \in \big[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\big].\]


Συνέχεια ανάγνωσης ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ →

Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Σχολιάστε

Για την ολοκλήρώση τριγωνομετρικων συναρτήσεων της μορφής:

    \[\int_{\alpha}^{\beta} \hm^{\nu}x \cdot \syn^{\mu}x \,\, dx\]

διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

  • Αν το \hm x είναι υψωμένο σε περιττή δύναμη, τότε θέτουμε u = \syn x.
  • Αν το \syn x είναι υψωμένο σε περιττή δύναμη, τότε θέτουμε u = \hm x.
  • Αν το \hm x και το \syn x είναι υψωμένο σε άρτια δύναμη, τότε χρησιμοποιούμε τους τύπους του αποτετραγωνισμού
    \syn^{2}x =\dfrac{1+\syn2x}{2} και \hm^{2}x =\dfrac{1-\syn2x}{2}.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΦΑΝΕΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ

    Σχολιάστε

    Παράδειγμα.1.
    Να λυθεί το παρακάτω ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

    Λύση

    Στο ολοκλήρωμα:

        \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{^{\hm x}}\cdot \syn x \, dx.\]

    Θέτουμε \hm x=u.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΡΟΦΑΝΕΙΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ

    Σχολιάστε

    Για να υπολογίσουμε το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης όπου ο τύπος της περιέχει ρίζες διαφορετικής τάξης οι οποίες όμως έχουν το ίδιο υπόρριζο, δηλαδή ολοκλήρώματα της μορφής:

        \[\int_{\alpha}^{\beta}f\big( x, \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}\big)\,\, dx, \quad k\in \rr^{*}\]

    εργαζόμαστε ως εξης:

  • Βρίσκουμε το Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των τάξεων των ριζών π.χ. EK\Pi(\nu, \mu)=\gamma.
  • Θέτουμε \sqrt[\gamma]{kx+\lambda} =u\Rightarrow kx+\lambda = u^{\gamma}.
  • Οπότε ( kx+\lambda)' \, dx = ( u^{\gamma})' du \Rightarrow k\cdot dx = \gamma u^{\gamma -1} du.
  • Γράφουμε τα ριζικά \sqrt[\nu]{kx+\lambda}, \sqrt[\mu]{kx+\lambda}, ως δυνάμεις του u και κάνουμε την αντικατάσταση.


    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΡΙΖΕΣ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΙΔΙΟ ΥΠΟΡΡΙΖΟ →

    Γ Λυκείου / ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

    ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε
    Για την ολοκλήρωση άρρητης συναρτήσης, δηλαδή για ολοκληρώματα που περιέχουν ν-οστη ρίζα της μορφής:

        \[\int_{\alpha}^{\beta} f\Bigg(x,\sqrt[\nu]{g(x)}\Bigg) \,\, dx\]

    Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της αντικατάστασης θέτοντας:

        \[\sqrt[\nu]{g(x)} = u \Rightarrow g(x)=u^{\nu} \quad (1.)\]

    Οπότε έχουμε:

        \[g'(x)\, dx= \nu u^{\nu -1}\, du\]

    Η μέθοδος την αντικατάστασης εφαρμόσιμη και έχει αξία όταν είναι εφικτή η επίλυση της εξίσωσης (1.)
    ως προς x.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →