Γ Λυκείου,ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
Print Friendly, PDF & Email

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Η συνεχής συνάρτηση f:[-\alpha,\alpha] \to \rr είναι περιττή,
επομένως ισχύει για κάθε x\in [-\alpha,\alpha]

    \[f(-x)=-f(x)\]

Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

    \[I=\int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx.\]

Θέτουμε

    \[-x=u \Rightarrow x=-u.\]

Οπότε:

    \begin{align*} (x)'\, dx &=(- u)' \, du \Rightarrow\\ dx &=-du. \end{align*}

για x=-\alpha και x=-u \Rightarrow -\alpha =- u \Rightarrow u= \alpha.
και
για x=\alpha και x=-u \Rightarrow \alpha = - u \Rightarrow u= -\alpha.

Οπότε:

    \begin{align*} I=& \int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx=\\\\\ & \int_{\alpha}^{-\alpha}-f(-u)\, du=\\\\\ & -\int_{\alpha}^{-\alpha}f(-u)\, du=\\\\\ & \int_{-\alpha}^{\alpha}f(-u)\, du=\\\\\ & \int_{-\alpha}^{\alpha}-f(u)\, du=\\\\\ & -\int_{-\alpha}^{\alpha}f(u)\, du=-I \end{align*}

Δηλαδη ισχύει ότι:

    \begin{align*} I = -I \Rightarrow I+I &= 0 \Rightarrow 2I = 0 \Rightarrow I =0\Rightarrow \\\\ &\int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx = 0. \end{align*}

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *