Αρχείο ετικέτας ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φ20/207

Σχολιάστε

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φ20/207

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φ20/207 →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φ12/205

Σχολιάστε

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φ12/205

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φ12/205 →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

ΘΕΜΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ – ΟΡΙΟ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Μ28/390

Σχολιάστε

ΘΕΜΑ
28
Δίνεται η συνάρτηση f(x) =\dfrac{\alpha \cdot x^{2}+\alpha\cdot x +2}{x-1}, \,\, x>1.

-(α)- Να βρεθεί το \alpha \in \rr ώστε το \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x) να είναι πραγματικός αριθμός.

-(β)- Για \alpha =0 και h(x) = \ln\Big(f(x)\Big) να βρεθούν τα παρακάτω όρια:

-(β.i)- \displaystyle\lim_{x\to 1}h(x)

-(β.ii)- \displaystyle\lim_{x\to +\infty}h(x)

-(γ)- Αν \alpha =0, να βρείτε το όριο

    \[\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\big|f^{2}(x) -f(x)-1\big|-f(x)-1}{f^{2}(x)(x+\hm x)}.\]

-(δ)- Αν \alpha =0, και για την συνάρτηση g ισχύει:

    \[\Big| g(x)-f^{2}(x)-1\Big| <2f(x), \quad \text{για κάθε} \,\, x >1.\]

να δείξετε ότι ισχύει: \displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=1.

ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΜΑ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟ ΟΡΙΟ – ΟΡΙΟ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ Μ28/390 →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

Φ12/201

Σχολιάστε

    \text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Δίνεται η συνάρτηση $ f(x) = x^{2} -2 -\syn x.$ \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι η $ f$ είναι γνησίως αύξουσα στο \\$ \Delta = [0,\dfrac{\pi}{2}].$ \item Να βρείτε το $ f(\Delta)$ και να δείξετε ότι εξίσωση $$ x^{2} = 2+\syn x$$ έχει μοναδική λύση $ (0, \dfrac{\pi}{2}).$ \item Να βρεὶτε το $ \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)+3}{x}.$ \item Να βρειτε το $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x).$ \item Να λύσετε στο $ [0, \dfrac{\pi}{2}]$ την εξίσωση: $$ f(x)+f(x^{2})+f(x^{2007}) =-9.$$ \end{enumerate} \end{enumerate}

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης Φ12/201 →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

Φ7/200

Σχολιάστε

    \text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Έστω η συνεχής συνάρτηση $ f: \rr \to \rr$ για την οποία ισχύει: $$ xf(x) + 3\hm x =x^{2}, \quad x \in \rr.$$ \begin{enumerate} \item Να βρείτε τον τύπο της $ f.$ \item Να υπολογίσετε το $ \displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x).$ \item Να δείξετε ότι η εξίσωση $ f(x) = e^{-x}$ έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα. \end{enumerate}

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης Φ7/200 →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

Φ6/201

Σχολιάστε

    \text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Έστω η συνεχής συνάρτηση $ f: \rr \to \rr$ για την οποία \\ισχύει: $$ xf(x) + \hm x = x^{2} \hm \frac{1}{x}, \quad x \neq 0.$$ \begin{enumerate} \item Να βρείτε τον τύπο της $ f.$ \item Να υπολογίσετε το $ \displaystyle\lim_{x\to + \infty} f(x).$ \item Να δείξετε ότι η εξίσωση $ f(x) = 0$ έχει μία \\τουλάχιστον θετική ρίζα. \end{enumerate} \end{enumerate}

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης Φ6/201 →

Γ Λυκείου / ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ, Γ Λυκείου / ΚΑΝΟΝΕΣ DE L' HOSPITAL

ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL

Σχολιάστε

Παράδειγμα.
Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr της οποίας η γραφική παράσταση έχει ασύμπτωτη στο +\infty την ευθεία y=2x-1. Να υπολογίσετε το όριο

    \[\lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)\ln(1+e^x)}{x^2f(x)-2x^3}\]

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΣΥΜΠΤΩΤΗ ΚΑΙ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΝΟΝΑ DE L HOSPITAL →

Γ Λυκείου / ΚΑΝΟΝΕΣ DE L' HOSPITAL

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ

Σχολιάστε

Αν ισχύουν

    \[\lim_{x \to x_0}f(x)=\lim_{x \to x_0}g(x)=\pm\infty\]

όπου x_0\in\rr\cup\{-\infty,+\infty\}, τότε το όριο:

    \[\lim_{x \to x_0}\Big[f(x)-g(x)\Big]\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή (+\infty)-(+\infty) ή (-\infty)-(-\infty). Για να υπολογίσουμε όρια αυτής της μορφής συνήθως βγάζουμε κοινό παράγοντα την f(x) ή τη g(x).

    \[\lim_{x \to x_0}\Big[f(x)-g(x)\Big]=\lim_{x \to x_0}\bigg{[}f(x)\Big(1-\frac{g(x)}{f(x)}\Big)\bigg{]}\]

‘Οπου το όριο

    \[\lim_{x \to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}\]

είναι της μορφής \frac{\infty}{\infty} και αν πληρούνται οι προυποθέσεις εφαρμόζουμε το κανόνα De L’Hospital.
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕΙΟΝ ΑΠΕΙΡΟ →

Γ Λυκείου / ΚΑΝΟΝΕΣ DE L' HOSPITAL

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΕΙΣ ΤΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ

2 σχόλια

Αν ένα όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]

έχει την απροσδιόριστη άπειρο εις τη μηδενικη (\pm \infty)^{0}, τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:

    \begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΕΙΣ ΤΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ →

Γ Λυκείου / ΚΑΝΟΝΕΣ DE L' HOSPITAL

ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΑ ΕΙΣ ΤΗΝ ΑΠΕΙΡΟ

Σχολιάστε

Αν ένα όριο

    \[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]

έχει την απροσδιόριστη μορφή ένα εις την άπειρο 1^{\pm \infty}, τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:

    \begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}

Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΑ ΕΙΣ ΤΗΝ ΑΠΕΙΡΟ →