Αρχείο ετικέτας ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΜΤ

Σχολιάστε

Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει \xi ώστε f''(\xi)=0, πρέπει να εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle για την f' σε κάποιο διάστημα [x_1,x_2].

Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να βρούμε δύο αριθμούς x_1\neq x_2 με f'(x_1)=f'(x_2). Οι τιμές αυτές μπορούν να προκύψουν με εφαρμογή του Θ.Μ.Τ σε δύο διαστήματα ξένα μεταξύ τους.

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΜΤ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

ΑΚΡΙΒΩΣ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

2 σχόλια

Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής f(x)=0 έχει ακριβώς \nu, στο πλήθος ρίζες, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Αποδεικνύουμε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον \nu, στο πλήθος ρίζες.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΙΒΩΣ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΕΞΙΣΩΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟ ΠΟΛΥ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

    Σχολιάστε

    Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

        \[f(x)=0\]

    έχει το πολύ \nu ρίζες, εργαζόμαστε ως εξής:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΥΠΑΡΞΗΣ ΤΟ ΠΟΛΥ -n- ΣΤΟ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ

    1 σχόλιο

    Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

        \[f'(x)+g(x)f(x)=0 \quad (1)\]

    έχει μία τουλάχιστον λύση σε ένα διάστημα (\alpha,\beta) τότε:

  • Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση G της g για την οποία ισχύει

        \[G'(x)=g(x)\]

  • Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση (1) με e^{G(x)} και ισοδύναμα έχουμε:

    •     \begin{align*} &f'(x)+g(x)f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &f'(x)+G'(x)f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}\Big( f'(x)+G'(x)f(x)\Big) =e^{G(x)}\cdot 0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}f'(x)+G'(x)e^{G(x)}f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &e^{G(x)}f'(x)+(e^{G(x)})'f(x)=0 \Leftrightarrow\\\\ &(e^{G(x)}f(x))'=0 \end{align*}

    και στη συνέχεια εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την

        \[h(x)=e^{G(x)}f(x) \quad \text{στο} \quad [\alpha,\beta]\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

    3 σχόλια

    ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ

    Στην προσπάθεια να βρούμε την αρχική μιας συνάρτησης πρέπει να ελέγχουμε αν εμφανίζεται παράγωγος γινομένου ή πηλίκου ή παράγωγος σύνθετης συνάρτησης.

    *f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=\Big(f(x)g(x)\Big)'

    *f(x)+xf'(x)=(xf(x))'

    *\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}=\Big(\dfrac{f(x)}{g(x)}\Big)' με g(x)\neq 0

    *\dfrac{f'(x)+xf'(x)}{x^2}=\Big(\dfrac{f(x)}{x}\Big)' x\neq 0

    *f^{\nu}(x)f'(x)=\Big(\dfrac{f^{\nu+1}(x)}{\nu+1}\Big)'

    *x^{\nu}=\Big(\frac{x^{\nu+1}}{\nu+1}\Big)'

    *e^{f(x)}f'(x)=\Big(e^{f(x)}\Big)'

    *\dfrac{f'(x)}{f(x)}=\Big(ln|f(x)|\Big)' f(x)\neq 0
    Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ, ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE

    Σχολιάστε

    Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει \xi\in(\alpha,\beta), ώστε να ισχύει μια σχέση, εργαζόμαστε ως εξής:

  • Θέτουμε στη θέση του \xi το x και μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, ώστε να έχουμε μια εξίσωση της μορφής

        \[g(x)=0\]

  • Αν δεν εφαρμόζεται το θεώρημα Bolzano για τη g στο [\alpha,\beta], τότε βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της g, για την οποία ισχύει

        \[G'(x)=g(x)\]

  • Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για τη G στο [\alpha,\beta] αν ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΑΡΞΗ ΑΡΙΘΜΟΥ ΣΕ ΑΝΟΙΚΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΜΙΑ ΣΧΕΣΗ, ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΗ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

    Σχολιάστε

    Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής

        \[f(x)=0\]

    έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα \Delta και
    δεν εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Bolzano, τότε μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

    * Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της f για την οποία ισχύει

        \[F'(x)=f(x)\]

    * Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την f στο διάστημα \Delta, αν ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΜΕ ΑΓΝΩΣΤΗ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE

    Σχολιάστε

    Παράδειγμα.
    Δίνεται συνάρτηση f:\rr\rightarrow\rr δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει

        \[f(2)=f(3)=f(4)\]

    Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(2,4) τέτοιο ώστε

        \[f''(\xi)=0\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΔΟΧΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ROLLE →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE

    1 σχόλιο

    Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν:

  • Συνεχής στο κλειστό διάστημα [\alpha,\beta]
  • Παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (\alpha,\beta) και
  • f(\alpha)=f(\beta).
    Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον \xi\in(\alpha,\beta) τέτοιο ώστε f'(\xi)=0
    Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE →