Αρχείο ετικέτας ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

Φ3/202

Σχολιάστε

    \text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Έστω συνάρτηση $ f:[0, +\infty) \to \rr$ συνεχής\\ και γνησίως μονότονονη συνάρτηση για την οποία ισχύει: $$ x^{2}+ 1 < f(x) <e^{x}, \quad x > 0. $$ \begin{enumerate} \item Να βρείτε το σύνολο τιμών της $ f $ \item Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον \\$ x_{0} \in (0,1)$ τέτοιο ώστε: $$ \frac{1}{f(x_{0})}+\frac{1}{x_{0}+1} =1.$$ \item \begin{enumerate} \item Να βρείτε τα $ \alpha, \beta$ ώστε: $ f(\alpha) + f(\beta) =2.$ \item Να λύσετε την εξίσωση: \\ $ f(x) + f(5x) = f(3x) + f(12x).$ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{enumerate}

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης Φ3/202 →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

ΘΕΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΟΡΙΟ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ Μ29/390

Σχολιάστε

ΘΕΜΑ
29
-(α)- Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης

    \[g(x)=x-\hm x.\]

-(β)- Δίνεται η συνάρτηση f(x) =\ln(x+1)- \ln x
-(β.i)- Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
-(β.ii) – Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = \alpha - \hm \alpha έχει μία ακριβώς λύση στο διάστημα (0, +\infty) για κάθε \alpha > 0.
ΛΥΣΗ

Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΜΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΟΡΙΟ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΩΝ Μ29/390 →

Γ Λυκείου / ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Α.ΜΕΡΟΣ

Φ12/201

Σχολιάστε

    \text{Να λυθεί η παρακάτω άσκηση} \begin{enumerate} \item Δίνεται η συνάρτηση $ f(x) = x^{2} -2 -\syn x.$ \begin{enumerate} \item Να δείξετε ότι η $ f$ είναι γνησίως αύξουσα στο \\$ \Delta = [0,\dfrac{\pi}{2}].$ \item Να βρείτε το $ f(\Delta)$ και να δείξετε ότι εξίσωση $$ x^{2} = 2+\syn x$$ έχει μοναδική λύση $ (0, \dfrac{\pi}{2}).$ \item Να βρεὶτε το $ \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{f(x)+3}{x}.$ \item Να βρειτε το $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x).$ \item Να λύσετε στο $ [0, \dfrac{\pi}{2}]$ την εξίσωση: $$ f(x)+f(x^{2})+f(x^{2007}) =-9.$$ \end{enumerate} \end{enumerate}

ΛΥΣΗ
Συνέχεια ανάγνωσης Φ12/201 →

Γ Λυκείου / ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ

Σχολιάστε

Αν μια εξίσωση περιέχει μια πραγματική, παράμετρο \lambda \in \rr, τότε για να βρούμε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης για τις διάφορες τιμές του \lambda \in \rr, εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ →

Γ Λυκείου / ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

ΥΠΑΡΞΗ ΜΟΝΑΔΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

1 σχόλιο

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

Στις ασκήσεις που αναζητάμε την ύπαρξη μοναδικής ρίζας μιας συνάρτησης, και δεν γνωρίζουμε συγκεκριμένο διάστημα στο οποίο θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε, κάποιο απο τα υπαρξιακά θεωρήματα Bolzano, Rolle τότε εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΥΠΑΡΞΗ ΜΟΝΑΔΙΚΗΣ ΡΙΖΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ →

Γ Λυκείου / ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ

Σχολιάστε

Έστω οτι η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [\alpha, \beta], τότε από το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, η συνάρτηση f, παρουσιάζει ένα ελάχιστο m και ένα μέγιστο M.
Τότε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, είναι το διάστημα [m,M]. Για να βρούμε το ελάχιστο και το μέγιστο της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ →

Γ Λυκείου / ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7 σχόλια

Έστω f: A \to \rr, μια συνεχής συνάρτηση. Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής

  • Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία.
  • Βρίσκουμε τα διαστήματα \Delta_{1},\Delta_{2},\cdots του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f, σε καθένα απο τα διαστήματα η οποία διατηρεί μονοτονία.

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

Σχολιάστε

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com

Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ →

Γ Λυκείου / ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2 σχόλια

ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ


Έστω f: A \rightarrow \mathbb{R} μια συνάρτηση, για να βρούμε την αντίστροφη της f εργαζόμαστε ως εξής:

  • Αποδεικνύουμε ότι η f είναι 1-1.
  • Θέτουμε f(x)=y οπότε είναι x=f^{^{-1}}(y).
  • Λύνουμε την εξίσωση f(x)=y ως προς x, βάζοντας,
    όπου χρειάζεται τους αναγκαίους περιορισμούς για το y.
  • Η συναλήθευση των περιορισμών για το y μας δίνουν το σύνολο τιμών της f, το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της f^{-1}.
  • Αν η λύση της εξίσωσης y=f(x) ως προς x ειναι η x=g(y), τότε έχουμε f^{-1}(y)=g(y). Θέτουμε όπου y το x και έχουμε έτσι τον τύπο της f^{-1}.


Συνέχεια ανάγνωσης ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →