Αρχείο κατηγορίας ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ,Γ Λυκείου

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

14 Απριλίου 2016 Νίκος Διακόπουλος 1 σχόλιο

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

Ισχύουν:

H σύνθεση $f\circ f^{^{-1}}$ είναι συνάρτηση ταυτοτική στο $f(A)$ δηλαδή:
$\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.$
H σύνθεση $f^{^{-1}}\circ f$ είναι συνάρτηση ταυτοτική στο $A_{f}$ δηλαδή:
$\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.$
Οι συναρτήσεις $f$ και $f^{^{-1}}$ έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ →

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ,Γ Λυκείου

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

14 Απριλίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

Επίλυση της εξίσωσης ${\bf{ f^{^{-1}}(x) =f(x),}}$ στην περίπτωση που η $f$ είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση.
Ισχύει ότι:

H σύνθεση $f\circ f^{^{-1}}$ είναι συνάρτηση ταυτοτική στο $f(A)$ δηλαδή:

$\Big( f\circ f^{^{-1}}\Big)(x)=f \Big(f^{^{-1}}(x)\Big)=x.$

H σύνθεση $f^{^{-1}}\circ f$ είναι συνάρτηση ταυτοτική στο $A_{f}$ δηλαδή:

$\Big( f^{^{-1}}\circ f\Big)(x)=f ^{^{-1}}\Big(f(x)\Big)=x.$

Οι συναρτήσεις $f$ και $f^{^{-1}}$ έχουν το ίδιο είδος μονοτονίας.

Συνέχεια ανάγνωσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ – ΓΝΗΣΙΩΣ ΑΥΞΟΥΣΑ – ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ →

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ,Γ Λυκείου

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

12 Απριλίου 2016 Νίκος Διακόπουλος Σχολιάστε

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Έστω $f:A\rightarrow\mathbb{R}$ μία 1-1 συνάρτηση, άρα ορίζεται η αντίστροφη $f^{-1}.$

Επειδή οι γραφικές παραστάσεις $C_{f}$ και $C_{f^{-1}}$ είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία $y=x,$ προκύπτει ότι οι εξισώσεις $f(x)=x$ και $f^{-1}(x)=x$ είναι ισοδύναμες, δηλαδή:

$f(x)=x\Leftrightarrow f^{-1}(x)=x.$

Λύνοντας μια από τις παραπάνω εξισώσεις βρίσκουμε τα σημεία τομής (αν υπάρχουν) των $C_f$ και $C_{f^{-1}}$ με τον άξονα συμμετρίας τους $y=x.$

Αν δεν μπορεί να βρεθεί τύπος για την αντίστροφη συνάρτηση και θέλουμε να λύσουμε την εξίσωση $f^{-1}(x)=x,$ τότε λύνουμε την ισοδύναμή της εξίσωση $f ( x) = x$ , διότι τα σημεία τομής της $C_{f^{-1}}$ με την ευθεία $y = x$ (αν υπάρχουν) είναι τα ίδια με τα σημεία τομής της $C_ f$ με την ίδια ευθεία.

Συνέχεια ανάγνωσης →

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ,Γ Λυκείου

ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

8 Απριλίου 2016 Νίκος Διακόπουλος 2 σχόλια

ΕΥΡΕΣΗ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Έστω $f: A \rightarrow \mathbb{R}$ μια συνάρτηση, για να βρούμε την αντίστροφη της $f$ εργαζόμαστε ως εξής:

Αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι $1-1.$
Θέτουμε $f(x)=y$ οπότε είναι $x=f^{^{-1}}(y).$
Λύνουμε την εξίσωση $f(x)=y$ ως προς $x,$ βάζοντας,
όπου χρειάζεται τους αναγκαίους περιορισμούς για το $y.$
Η συναλήθευση των περιορισμών για το $y$ μας δίνουν το σύνολο τιμών της $f$ , το οποίο είναι το πεδίο ορισμού της $f^{-1}.$
Αν η λύση της εξίσωσης $y=f(x)$ ως προς $x$ ειναι η $x=g(y)$ , τότε έχουμε $f^{-1}(y)=g(y)$ . Θέτουμε όπου $y$ το $x$ και έχουμε έτσι τον τύπο της $f^{-1}.$