83 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ F(X) = 2ημ x – x
Αρχείο ετικέτας ΑΠΕΙΡΟ ΕΠΙ ΜΗΔΕΝ
ΜΗΔΕΝ ΕΠΙ ΑΠΕΙΡΟ -3-
ΜΗΔΕΝ ΕΠΙ ΑΠΕΙΡΟ -3-
ΜΕΡΟΣ I
Να χαρακτηρίσετε την πρόταση που ακολουθεί, γράφοντας στο τετράδιο σας τη λέξη ΣΩΣΤΟ αν η πρόταση είναι σωστή, ή ΛΑΘΟΣ αν η πρόταση είναι λάθος.
ΝΑ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΕΤΕ ΤΗΝ ΑΠΑΝΤΗΣΗ ΣΑΣ
Χαρακτηρίστε την απάντησή σας και αιτιολογήστε.
ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΕΙΣ ΤΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ
Αν ένα όριο
![\[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8e3b1b1125aa8acf0a1d2694dc9558c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
έχει την απροσδιόριστη άπειρο εις τη μηδενικη 
τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:
![\begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f7dae6cfc429b2bafa565a2b530a5e4f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΑΠΕΙΡΟ ΕΙΣ ΤΗ ΜΗΔΕΝΙΚΗ
ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΑ ΕΙΣ ΤΗΝ ΑΠΕΙΡΟ
Αν ένα όριο
έχει την απροσδιόριστη μορφή ένα εις την άπειρο 
τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΕΝΑ ΕΙΣ ΤΗΝ ΑΠΕΙΡΟ
ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΕΙΣ ΤΗΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗ
Αν ένα όριο
έχει την απροσδιόριστη μορφή μηδέν εις την μηδενική 
τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΕΙΣ ΤΗΝ ΜΗΔΕΝΙΚΗ
ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΕΠΙ ΑΠΕΙΡΟ
Αν ισχύουν
![\[\lim_{x \to x_0}f(x)=0 \quad \text{και} \quad \lim_{x \to x_0}g(x)=\pm\infty\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8794b3fb71bb88d38212404a3b8aabde_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
όπου 
, τότε το όριο:
![\[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-863810ffa31334ec7d95782d003e86a8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
έχει την απροσδιόριστη μορφή 
. Για να υπολογίσουμε ένα τέτοιο όριο εργαζόμαστε ως εξής:
![\[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))=\lim_{x \to x_0}\big{(}\frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}}\big{)}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}...\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-35c360e746a666072639c9dc74520103_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ή αλλιώς
![\[\lim_{x \to x_0}(f(x)g(x))=\lim_{x \to x_0}\big{(}\frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}\big{)}\xlongequal[D.L.H]{\frac{\infty}{\infty}}...\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6fe143b768cda87cb45f3fbecb62dc35_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Σε κάθε περίπτωση αν πληρούνται οι προϋποθέσεις εφαρμόζουμε τον κανόνα του de L’Hospital.
Συνέχεια ανάγνωσης ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΗ ΜΟΡΦΗ ΜΗΔΕΝ ΕΠΙ ΑΠΕΙΡΟ
ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ
![\[ \newcounter{afa} \newcommand{\afa }{% \stepcounter{afa}% %exartate \alph{tbc})\ } %exartate \Alph{tbc})\ } \alph{afa})\ } \begin{tabular}{ l l l} &\afa $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{x-\hm x}{x} \, $ \afa $\,\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\big(x\cdot\hm\dfrac{1}{x}\big)$ &\afa $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\syn x}{x+3} $ \end{tabular} \]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-91fbc7d4634c4fa3d8c3e7d02139e8ff_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Για τον υπολογισμό του ορίου στο άπειρο, συναρτήσεων που περιέχουν ριζικά, δηλαδή της μορφής:
![\[\sqrt[\nu]{f(x)}\pm g(x) \, \,\text{ή} \,\, \sqrt[\nu]{f(x)}\pm \sqrt[\mu]{g(x)} \quad \text{με} \,\,\nu,\mu \in \mathbb{N}, \, \,\nu,\mu \geq 2.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-28526aac425592a601ea2412fefbb4a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Δουλεύουμε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ