ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Μια ανίσωση που δεν λύνεται με κάποια γνωστή μέθοδο, μπορεί να λυθεί ως εξής:

Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.

Θέτουμε το πρώτο μέλος ίσο με $f(x)$ , οπότε η εξίσωση έχει τη μορφή $f(x)\leq 0$ ή $f(x)\geq 0$

Με τη μέθοδο των παραγώγων αποδεικνύουμε ότι η $f$ είναι γνησίως μονότονη.

Βρίσκουμε με δοκιμές μία ρίζα $\rho$ της εξίσωσης $f(x)=0,$ οπότε η ανίσωση γίνεται $f(x)\leq f(\rho)$ ή $f(x)\geq f(\rho)$

Εκμεταλλευόμαστε τη μονοτονία της $f.$

π.χ. αν

Για την επίλυση ανισώσεων της μορφής $f\Big(g(x)\Big) < f\Big(h(x)\Big)$
έχουμε:
αν

Και λύνουμε την ανίσωση $g(x) < h(x)$ με κάποια γνωστή μέθοδο.
Ενώ αν

λύνουμε την ανίσωση $g(x) > h(x)$

Απο τα παραπάνω βγάζουμε τον συμπέρασμα ότι αν η $f$ γν.αυξουσα διατηρείται η διάταξη της ανίσωσης ενω αν η $f$ γν.φθίνουσα η διάταξη της ανίσωσης αλλάζει.

Παράδειγμα.

Να λύσετε την ανίσωση

$e^{x-1}\leq1-lnx$

Λύση

Με $x>0$ η ανίσωση γίνεται:

$\begin{align*} &e^{x-1}\leq1-lnx \Leftrightarrow\\ &e^{x-1}-1+lnx\leq0 \end{align*}$

Θεωρούμε τη συνάρτηση

$f(x)=e^{x-1}-1+lnx, \quad \text{με} \quad x>0$

Παρατηρούμε ότι $f(1)=0$
Άρα η ανίσωση γράφεται:

$\begin{align*} &e^{x-1}-1+lnx\leq0 \Leftrightarrow\\ &e^{x-1}-1+lnx\leq f(1) \Leftrightarrow\\ &f(x)\leq f(1) \end{align*}$

Μελετάμε την $f$ ως προς τη μονοτονία. Για κάθε $x>0$ είναι:

$f'(x)=e^{x-1}+\frac{1}{x}>0$

Επομένως η $f$ είναι γνησίως αύξουσα για $x>0.$
Άρα έχουμε:

$\begin{align*} &f(x)\leq f(1) \Leftrightarrow\\ &x\leq 1 \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά