Άρθρα ανά μήνα: Ιανουάριος 2017

Γ Λυκείου / ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ

ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7 σχόλια

Έστω f: A \to \rr, μια συνεχής συνάρτηση. Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f, εργαζόμαστε ως εξής

  • Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία.
  • Βρίσκουμε τα διαστήματα \Delta_{1},\Delta_{2},\cdots του πεδίου ορισμού της συνάρτησης f, σε καθένα απο τα διαστήματα η οποία διατηρεί μονοτονία.

Συνέχεια ανάγνωσης ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ

Σχολιάστε

Αν έχουμε ως δεδομένο μια ανισότητα της μορφής

    \[f(x)\leq g(x) \quad \text{ή} \quad f(x)\geq g(x)\]

για κάθε x\in\Delta και το ζητούμενο είναι να αποδείξουμε μια ισότητα τότε εργαζόμαστε ως εξής:
Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε

Σύμφωνα με το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής, μια συνάρτηση f που είναι συνεχής στο κλειστό [\alpha,\beta] παίρνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή στο [\alpha,\beta]. Δηλαδή υπάρχουν με f(x_1)=\mu και f(x_2)=M,
ώστε \mu\leq f(x)\leq M για κάθε x\in[\alpha,\beta].

Συνέχεια ανάγνωσης ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ

Σχολιάστε

Θεωρούμε δύο συναρτήσεις f,g:A\rightarrow\rr.
Αν η f έχει ολικό ελάχιστο το \mu
και η g έχει ολικό μέγιστο το M
και ισχύει \mu\geq M,
τότε ισχύει ότι f(x)\geq g(x) για κάθε x\in A.
Συνέχεια ανάγνωσης ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΛΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ →

Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Σχολιάστε
  • Αν μια συνάρτηση f: A\rightarrow\rr έχει ολικό ελάχιστο \mu>0 τότε ισχύει ότι f(x)>0 για κάθε x\in A.
  • Αν μια συνάρτηση f: A\rightarrow\rr έχει ολικό μέγιστο M<0 τότε ισχύει ότι f(x)<0 για κάθε x\in A.

    • Συνέχεια ανάγνωσης ΟΛΙΚΟ ΑΚΡΟΤΑΤΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

    ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    Για να αποδείξουμε μια ανισότητα της μορφής

        \[A(x)\geq B(x) \quad \text{ή} \quad A(x)\leq B(x)\]

    μπορούμε να εργαστούμε ως εξής:

    • Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος.
    • Θέτουμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση f(x), οπότε η ανισότητα παίρνει τη μορφή

          \[f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0\]

    • Μελετάμε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και διαπιστώνουμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή ολικό μέγιστο το 0, οπότε αντίστοιχα θα ισχύει:

          \[f(x)\geq0 \quad \text{ή} \quad f(x)\leq0\]

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

    ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    Αν μια συνάρτηση f:A\rightarrow\rr παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το 0 μόνο στο x_0, τότε το x_0 είναι μοναδική ρίζα της f και ισχύει f(x)>0 για κάθε x\in A-\{x_0\}.
    Αν μια συνάρτηση f:A\rightarrow\rr παρουσιάζει ολικό μέγιστο το 0 μόνο στο x_0, τότε το x_0 είναι μοναδική ρίζα της f και ισχύει f(x)<0 για κάθε x\in A-\{x_0\}.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

    ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ

    Σχολιάστε

    Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f δεν έχει ακρότατα, συνήθως εργαζόμαστε με τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο, Υποθέτουμε δηλαδή ότι η f παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο x_0, το οποίο είναι εσωτερικό ενός διαστήματος \Delta του πεδίου ορισμού της f, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat ισχύει ότι f'(x_0)=0. Με τη βοήθεια αυτής της σχέσης προσπαθούμε να καταλήξουμε σε άτοπο.
    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

    ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

    Σχολιάστε

    Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης f περιέχει παραμέτρους και γνωρίζουμε ότι η f παρουσιάζει ακρότατο στο x_0, τότε για να βρούμε τις παραμέτρους εργαζόμαστε ως εξής:
    Συνέχεια ανάγνωσης ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ →

    Γ Λυκείου / ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

    ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ

    Σχολιάστε

    Στη περίπτωση που η συνάρτηση f, είναι ασυνεχής σε ένα σημείο x_{0} του πεδίου ορισμού της τότε διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:

    • Αν \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\leq f(x_{0}) και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\leq f(x_{0}) και η f αυξάνεται αριστερά του x_{0} και φθίνει δεξιά του x_{0}, τότε στο x_{0} η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο.
    • Αν \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)\geq f(x_{0}) και \displaystyle\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)\geq f(x_{0}) και η f φθίνει αριστερά του x_{0} και αυξάνεται δεξιά του x_{0}, τότε στο x_{0} η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

    Σε κάθε περίπτωση η σχεδίαση μιας πρόχειρης γραφικής παράστασης της συνάρτησης f κοντά στη περιοχή του x_{0} μας βοηθά στην απάντηση μας.

    Συνέχεια ανάγνωσης ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΑΣΥΝΕΧΕΙΑΣ →