Αν ένα όριο
![\[\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8e3b1b1125aa8acf0a1d2694dc9558c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
έχει την απροσδιόριστη μορφή ένα εις την άπειρο 
τότε για να άρουμε την απροσδιοριστια του ορίου και να υπολογίσουμε την τιμή του ορίου εργαζόμαστε ως εξής:
![\begin{align*} &\lim_{x \to x_0}[f(x)]^{g(x)}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{\ln [f(x)]^{g(x)}}=\\\\ &\lim_{x \to x_0}e^{g(x)\ln f(x)}. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f7dae6cfc429b2bafa565a2b530a5e4f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
και στη συνέχεια υπολογίζουμε το όριο
![\[\lim_{x \to x_0}[g(x)\ln f(x)]\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-08e6325375d5170c28b038cb498e87d2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
το οποίο είναι της μορφής 
.
Παράδειγμα.1.
Να υπολογίσετε το όριο
![\[\lim_{x \to +\infty}\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)^{x}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-abae05708cba01aae7717ee525d5e100_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Λύση
Έχουμε:
![\begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)^{x}\xlongequal[]{1^{+ \infty}}\\\\ &\lim_{x \to +\infty}e^{^{\ln \Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)^{x}}}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}e^{^{x\ln\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)}}. \quad (1) \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-59e77e74ec5219bbccc26147140e27f1_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Όμως είναι:
![\begin{align*} &\lim_{x \to +\infty}\Bigg(x\ln\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)\Bigg) \xlongequal[]{+\infty\cdot 0}\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)}{\frac{1}{x}}\xlongequal[D.L.H]{\frac{0}{0}}\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\Bigg(\ln\Big( 1+ \dfrac{1}{x}\Big)\Bigg)'}{(\frac{1}{x})'}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \big(1+\frac{1}{x}\big)'}{-\frac{1}{x^2}}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \big(\frac{1}{x}\big)'}{-\frac{1}{x^2}}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}\frac{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\cdot \big(-\frac{1}{x^{2}}\big)}{-\frac{1}{x^2}}=\\\\ &\lim_{x \to +\infty}{1+\frac{1}{x}}=1. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5bba9d9537584b9f0770f64f2e7f877b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Άρα απο τη σχέση 
το όριο γίνεται:
Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .