και γράφουμε:
![\[I= \int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{P(x)}{Q(x)}dx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-df715ee3bb59515f1a4c4454907bd5e3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\[I= \int_{\alpha}^{\beta}P(x)+\dfrac{\upsilon(x)}{Q(x)}dx\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2ef799ee97e6872b57df84995b2244b6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Παράδειγμα
Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα της ρητής συνάρτησης:
![\[\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}dx.\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec57966c2179ff23e660edcd66e27c45_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Λύση
Για το ορισμένο ολοκλήρωμα της ρητής συνάρτησης
![\[\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ea8ced104116fc80f6f1868ef07e4e66_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
παρατηρούμε ότι ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή, 
είναι ο 3, που είναι μεγαλύτερος από το βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή, 
οποίος είναι ο 2 γιαυτο εκτελόυμε την ευκλείδεια διαίρεση
![\[(x^{3}-2x-9):(x^{2}-2x-3)\]](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-32ccf957300f20f650a4f45a34fcb4ee_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
με τον παρακάτω τρόπο:
Σύμφωνα με τον αλγοριθμικό τύπο της διαίρεσης έχουμε
οπότε το ζητούμενο ολοκλήρωμα γινεται:
![\begin{align*} &\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3}=\\\\ & \int_{0}^{1}x+2 + \dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}dx=\\\\ & \int_{0}^{1}x+2 \,\,dx +\int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}dx=\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} +\int_{0}^{1}\dfrac{5x-3}{x^{2}-2x-3}dx \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-251411f17a914a094442a29922c16c0d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
το τελευταίο ορισμένο ολοκλήρωμα είναι:
ορισμένο ολοκλήρωμα ρητής συνάρτησης με βαθμο πολυωνύμου του αριθμητή μικρότερο από το βαθμό πολυωνύμου του παρονομαστή.
και έχουμε:
![\begin{align*} &\int_{0}^{1}\dfrac{x^{3}-2x-9}{x^{2}-2x-3} =\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1}\dfrac{3}{x-3}+\dfrac{2}{x+1} \, dx=\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1}\dfrac{3}{x-3} \, dx+\int_{0}^{1}\dfrac{2}{x+1} \, dx=\\\\ &\Big[\dfrac{x^{2}}{2}+ 2x\Big]_{0}^{1} + 3\cdot\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x-3} \, dx+2\cdot\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x+1} \, dx=\\\\ &\Big(\dfrac{1^{2}}{2}+ 2\cdot 1 -0\Big)+ 3\cdot\Big[\ln|x-3|\Big]_{0}^{1}+2\cdot \Big[ \ln |x+1|\Big]_{0}^{1}=\\\\ & \dfrac{5}{2}+ 3\cdot\Big[\ln|1-3|-\ln|0-3|\Big]+2\cdot \Big[ \ln |1+1|-\ln |0+1|\Big]=\\\\ &\dfrac{5}{2} + 3\cdot\Big[\ln|-2|-\ln|-3|\Big]+2\cdot \Big[ \ln |2|-\ln |1|\Big]=\\\\ &\dfrac{5}{2}+ 5\ln2-3\ln3. \end{align*}](https://study4maths.gr/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c0ac0f194b306608e97b000b22e218b0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Βιβλιογραφία: Στεργίου – Νάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .