ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
Η συνάρτηση $f:[-\alpha,\alpha] \to \rr$ είναι άρτια
επομένως ισχύει για κάθε $x\in [-\alpha,\alpha]$

$f(-x)=f(x)$

Έχουμε:

$\int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx= \int_{-\alpha}^{0} f(x)\, dx +\int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx. \quad (1.)$

Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα

$I=\int_{-\alpha}^{0}f(x)\, dx.$

Θέτουμε

$-x=u \Rightarrow x=-u.$

Οπότε:

$\begin{align*} (x)'\, dx &=(- u)' \, du \Rightarrow\\ dx &=-du. \end{align*}$

για $x=-\alpha$ και $x=-u \Rightarrow -\alpha =- u \Rightarrow u= \alpha.$
και
για $x=0$ και $x=-u \Rightarrow 0 = - u \Rightarrow u= 0.$

Οπότε:

$\begin{align*} & \int_{-\alpha}^{0}f(x)\, dx=\\\\\ & \int_{\alpha}^{0}-f(-u)\, du=\\\\\ & -\int_{\alpha}^{0}f(-u)\, du=\\\\\ & \int_{0}^{\alpha}f(-u)\, du=\\\\\ & \int_{0}^{\alpha}f(u)\, du=\int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx. \end{align*}$

Οπότε:

$\begin{align*} (1.)\Rightarrow & \int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx= \int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx+\int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx\Rightarrow \\\\ &\int_{-\alpha}^{\alpha}f(x)\, dx= 2 \int_{0}^{\alpha} f(x)\, dx \end{align*}$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά