ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 36

Απάντηση

ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ
Έστω μια συνάρτηση $f$ ορισμένη σ’ ένα διάστημα $\Delta$
και $x_{0}$ ένα εσωτερικό σημείο του $\Delta.$
Αν η $f$ παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο $x_{0}$
και είναι παραγωγίσιμη σ’ αυτό τότε

$f'(x_{0}) =0$

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

Έστω η $f$ παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο $x_{0}.$
Επειδή το $x_{0}$ είναι εσωτερικό σημείο του $\Delta$
και η $f$ παρουσιάζει σ’ αυτό τοπικό μέγιστο θα υπάρχει

$\delta > 0, \, \text{ώστε } \, (x_{0}- \delta, x_{0}+ \delta) \subseteq \Delta \, \text{ και} \, f(x) \leq f(x_{0})$

$\text{για κάθε} \, x \in (x_{0}- \delta, x_{0}+ \delta)$

ή αλλίως

$f(x)- f(x_{0})\leq 0.$

Επειδή η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}$ τότε, από τον ορισμό της παραγώγου στο $x_{0}$ και απο το Κριτήριο Πλευρικών Ορίων θα έχουμε:

$f'(x_{0}) = \displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{-}} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x -x_{0}} = \displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{+}} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x -x_{0}}$

Οπότε διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

περ.1
$\vartriangleright$ Aν $x \in (x_{0}- \delta, x_{0})$ θα είναι $\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x -x_{0}} \geq 0$

και $f'(x_{0}) = \displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{-}} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x -x_{0}} \geq 0$

περ.2
$\vartriangleright$ Aν $x \in (x_{0}, x_{0}+ \delta)$ θα είναι $\dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x -x_{0}} \leq 0$

και $f'(x_{0}) = \displaystyle\lim_{x \to x_{0}^{+}} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x -x_{0}} \leq 0$

Οπότε απο περ.1 και περ.2 καταλήγουμε ότι $f'(x_{0}) = 0$

Η απόδειξη για το ελάχιστο είναι ανάλογη

ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ

ΠΡΟΣΟΧΗ. Ο υποψήφιος των πανελλήνιων εξετάσεων θα πρέπει απλά να να συμβουλεύεται τη συγκεκριμένη ερώτηση – απάντηση θεωρίας και να διαβάζει τη θεωρία απο το σχολικό βιβλίο από το οποίο θα εξετασθεί.
Βιβλιογραφία:
1.) Αποστόλου Γεώργιος Μαθηματικός M.Sc. www.i-tutor.gr

2.)Σχολικό Βιβλίο Μαθηματικά Γ. τάξης γενικού λυκείου ομάδα προσανατολισμού Β. μέρος.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 36

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά