ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

Ευθεία που διέρχεται από γνωστό σημείο και ικανοποιεί μια ιδιότητα

Όταν μια ευθεία $(\epsilon)$ διέρχεται από γνωστό σημείο $Α(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0})$ και επιπλέον έχει μια ιδιότητα Ι, τότε για να βρούμε την εξίσωσή της, εργαζόμαστε ώς εξής:

Η ευθεία $(\epsilon)$ έχει εξίσωση της μορφής:
$\mathrm{x} = \mathrm{x}_0 \quad \text{ή}\quad \mathrm{y} - \mathrm{y}_{0} = \lambda (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0}).$
Εξετάζουμε αν η ευθεία με εξίσωση $\mathrm{x} = \mathrm{x}_0$ έχει την ιδιότητα Ι. Αν την έχει, τότε η $\mathrm{x} = \mathrm{x}_0$ είναι μια από τις ζητούμενες ευθείες.

Θεωρούμε ότι η ευθεία με εξίσωση $\mathrm{y} - \mathrm{y}_{0} = \lambda (\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0})$ έχει την ιδιότητα Ι και βρίσκουμε (αν υπάρχουν) τις τιμές του $\lambda$ και τις αντίστοιχες ευθείες.

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

Ξέρουμε ότι από ένα σημείο $M\big(x_{0}, y_{0}\big)$ διέρχονται άπειρες ευθείες οι οποίες χωρίζονται σε δύο βασικές κατηγορίες σε αυτές που έχουν συντελεστή διεύθυνσης $\lambda \in \rr$ και έχουν εξίσωση της μορφής:
$(\epsilon): y-y_{o}=\lambda (x-x_{0}).$
Όπως επίσης απο το σημείο $M\big(x_{0}, y_{0}\big)$ διέρχεται και η ευθεία παράλληλη στον $y'y,$ η κατακόρυφη ευθεία η οποία ΔΕΝ έχει συντελεστή διεύθυνσης με εξίσωση:
$(\epsilon): x=x_{0}.$

Συνεπώς οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο $P(3,5),$ θα έχουν εξίσωση:

$(\epsilon):\mathrm{x} = 3 \quad \text{ ή } \quad (\epsilon): \mathrm{y} - 5 = \lambda(\mathrm{x} - 3).$

ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΜΕ ΤΙΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΠΕΡ.1. Αν $(\epsilon):\mathrm{x} = 3$
Τότε η ευθεία $(\epsilon):\mathrm{x} = 3$ τέμνει την ευθεία: $(\zeta): \mathrm{y} = \mathrm{x} - 2$ στο σημείο $Α(3,1).$
Αφού για $x=3$ η εξίσωση της ευθείας $(\zeta)$ δίνει: $\mathrm{y} = 3 - 2\Rightarrow \mathrm{y} =1$
Από υπόθεση θα πρέπει το σημείο τομής $Α(3,1),$ να απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση $(OA)=\sqrt{10}$
Είναι:

$(OA)=\sqrt{\big(x_{A}-x_{0}\big)^{2}+\big(y_{A}-y_{0}\big)^{2}$

$(ΟΑ) = \sqrt{(3-0)^2+(1-0)^{2}}=$

$(ΟΑ) = \sqrt{3^2+1}$

$(ΟΑ) =\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.$

Άρα η ευθεία $\mathrm{x} = 3$ είναι μια λύση του προβλήματος.

ΕΥΘΕΙΑ ΠΟΥ ΔΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΓΝΩΣΤΟ ΣΗΜΕΙΟ

ΠΕΡ.2Θα εξετάσουμε τώρα αν υπάρχει ευθεία της μορφής $(\epsilon): \mathrm{y} - 5 = \lambda(\mathrm{x} - 3)$ που διέρχεται από το σημείο $P(3,5)$ και τέμνει την ευθεία $(\zeta): \mathrm{y} = \mathrm{x} - 2$ σε σημείο που απέχει από την αρχή των αξόνων $O(0,0)$ απόσταση ίση με $\sqrt{10}$
Είναι:

$(\epsilon): \mathrm{y} - 5 = \lambda(\mathrm{x} - 3) \Leftrightarrow$

$\mathrm{y} = \lambda\mathrm{x} - 3\lambda + 5$

Για να είναι οι ευθείες $(\epsilon)$ και $(\zeta)$ τεμνόμενες θα πρέπει $\lambda \neq 1,$ ώστε οι ευθείες $(\epsilon)$ και $(\zeta)$ να μην είναι παράλληλες.
Οπότε το σημείο τομής $Α(x_{A}, y_{A})$ των ευθειών $(\epsilon)$ και $(\zeta)$ έχει συντεταγμένες τη λύση του συστήματος που ορίζουν οι εξισώσεις των ευθειών:

$\begin{align*} &\left\{\begin{array}{c}{(\zeta):y=x-2} \\\\ {(\epsilon):y=\lambda x-3 \lambda+5}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=x-2} \\\\ {\lambda x-3 \lambda+5=x-2}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=x-2} \\\\ {(\lambda-1) x=3 \lambda-7}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\left\{\begin{array}{c}{y=x-2} \\\\ {x=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}-2} \\\\ {x=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}-\dfrac{2\cdot(\lambda -1)}{\lambda -1}} \\\\ {x=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}{y=\dfrac{3 \lambda-7-2\lambda +2}{\lambda-1}} \\\\ {x=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{l}{y=\dfrac{\lambda-5}{\lambda-1}} \\\\ {x=\dfrac{3 \lambda-7}{\lambda-1}}\end{array}\right \} \end{align*}$

Επομένως οι ευθείες $(\epsilon)$ και $(\zeta)$ έχουν σημείο τομής της μορφής

$Α\left(\dfrac{3\lambda - 7}{\lambda - 1},\dfrac{\lambda - 5}{\lambda - 1}\right).\quad \text{με} \quad \lambda \neq 1$

Από υπόθεση θα πρέπει το σημείο τομής $Α\left(\dfrac{3\lambda - 7}{\lambda - 1},\dfrac{\lambda - 5}{\lambda - 1}\right), \quad \lambda \neq 1$ να απέχει από την αρχή των αξόνων απόσταση $(OA)=\sqrt{10}$
Είναι:

$\begin{align*} &\begin{cases}(OA)=\sqrt{10} \\\\ \text{και}\\ (OA)=\sqrt{\big(x_{A}-x_{0}\big)^{2}+\big(y_{A}-y_{0}\big)^{2}} \end{cases}\Rightarrow\\\\ &\sqrt{\big(x_{A}-x_{0}\big)^{2}+\big(y_{A}-y_{0}\big)^{2}}=\sqrt{10}\\\\ &\sqrt{\left(\frac{3\lambda - 7}{\lambda - 1} - 0\right)^{2} + \left(\frac{\lambda - 5}{\lambda - 1}-0\right)^{2}} = \sqrt{10} \Leftrightarrow \\\\ &\sqrt{\left(\frac{3\lambda - 7}{\lambda - 1}\right)^{2} + \left(\frac{\lambda - 5}{\lambda - 1}\right)^{2}} = \sqrt{10} \Leftrightarrow \\\\ &\frac{9\lambda^2 - 42\lambda + 49}{\lambda^2 - 2\lambda + 1} + \frac{\lambda^2 - 10\lambda + 25}{\lambda^2 - 2\lambda + 1} = 10 \Leftrightarrow \\\\ &\frac{9\lambda^2 - 42\lambda + 49+\lambda^2 - 10\lambda + 25}{\lambda^2 - 2\lambda + 1} = 10 \Leftrightarrow \\\\ &\frac{10\lambda^2 - 52\lambda +74}{\lambda^2 - 2\lambda + 1} = 10 \Leftrightarrow \\\\ & 10\lambda^2 - 52\lambda +74 = 10\cdot (\lambda^2 - 2\lambda + 1)\Leftrightarrow \\\\ & 10\lambda^2 - 52\lambda +74 = 10\lambda^2 -20\lambda + 10 \Leftrightarrow \\\\ & 10\lambda^2 - 52\lambda - 10\lambda^2 +20\lambda= + 10-74 \Leftrightarrow \\\\ &-32\lambda = -64 \Leftrightarrow \lambda = 2 \end{align*}$

Δηλαδή για $\lambda =2$ η ευθεία με εξίσωση $(\epsilon):\mathrm{y} = \lambda\mathrm{x} - 3\lambda + 5$
διέρχεται από το σημείο $P(3,5)$ και τέμνει την ευθεία $(\zeta): \mathrm{y} = \mathrm{x} - 2$ σε σημείο που απέχει από την αρχή των αξόνων $O(0,0)$ απόσταση ίση με $\sqrt{10}$
Επομένως είναι:

$(\epsilon):\mathrm{y} = \lambda\mathrm{x} - 3\lambda + 5$

$(\epsilon):\mathrm{y} = 2\cdot \mathrm{x} - 3\cdot 2 + 5$

$(\epsilon):\mathrm{y} = 2\cdot \mathrm{x} - 6 + 5$

$(\epsilon): \mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 1$

Τελικά οι ευθείες που διέρχενται από το σημείο $P(3,5)$ και τέμνουν την ευθεία $(\zeta): \mathrm{y} = \mathrm{x} - 2$ σε σημείο που απέχει από την αρχή των αξόνων $O(0,0)$ απόσταση ίση με $\sqrt{10}$ είναι:

$(\epsilon_1): \mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 1\quad \text{και} \quad (\epsilon_2):\mathrm{x} = 3.$