ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

Αν γνωρίζουμε ότι το σημείο $Μ(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1})$ ανήκει στην ευθεία $(\epsilon): \mathrm{y} = \lambda \mathrm{x} + \beta,$ τότε οι συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωσή της. Δηλαδή ισχύει ότι:

$\mathrm{y}_{1} = \lambda \mathrm{x}_{1} + \beta.$

Άρα το σημείο $Μ$ είναι της μορφής:

$M\big(\mathrm{x}_{1}\, , \,\lambda \mathrm{x}_{1} + \beta\big).$

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ
i.) Για να ανήκει το σημείο $A(2,5)$ στην ευθεία $(\epsilon): y =2x+1$ θα πρεπει οι συντεταγμένες του $A$ να ικανοποιούν την εξίσωση της $(\epsilon),$ έχουμε:

$\begin{align*} A(2,5)\in (\epsilon):& y =2x+1 \xRightarrow[y=5]{x=2}\\\\ & 5 =2\cdot 2+1 \Rightarrow \\\\ & 5 =4+1\Rightarrow \\\\ & 5 =5 \quad \text{ισχύει} \end{align*}$

Άρα το σημείο $A(2,5)$ ανήκει στην ευθεία $(\epsilon): y =2x+1.$

ii.)
Για να ανήκει το σημείο $Β(4,3)$ στην ευθεία $(\epsilon): y =2x+1$ θα πρεπει οι συντεταγμένες του $Β$ να ικανοποιούν την εξίσωση της $(\epsilon),$ έχουμε:

$\begin{align*} Β(4,3)\in (\epsilon):& y =2x+1 \xRightarrow[y=3]{x=4}\\\\ & 3 =2\cdot 4+1 \Rightarrow \\\\ & 3 =8+1\Rightarrow \\\\ & 3 =9 \quad \text{αδύνατο} \end{align*}$

Άρα το $Β(4,3)$ δεν ανήκει στην ευθεία $(\epsilon): y =2x+1.$

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

α) Το σημείο $Μ\big(2\lambda + 4\,,\, \lambda + 2\big)$ ανήκει στην ευθεία $(\epsilon): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} + 5\lambda,$ άρα για $x=2\lambda + 4$ και $y =\lambda + 2$ η εξίσωση της $(\epsilon)$ γίνεται:

$(\epsilon): \mathrm{y} = 3\mathrm{x} + 5\lambda \Rightarrow$

$\lambda + 2 =3(2\lambda +4) + 5\lambda \Rightarrow$

$\lambda +2 = 6\lambda +12 + 5\lambda \Rightarrow$

$\lambda +2 = 11\lambda +12 \Rightarrow$

$\lambda -11\lambda=-2 +12 \Rightarrow$

$-10\lambda = 10 \Rightarrow \lambda = -1.$

ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ

β)
Το σημείο $Α\big(x_{1}\, , \, y_{1}\big)$ ανήκει στην ευθεία $(\zeta): \mathrm{y} = -\mathrm{x} + 3,$
οπότε οι συντεταγμένες του $A$ επαληθεύουν την εξίσωση της $(\zeta)$ δηλαδή $y_{1}= -x_{1}+3$
Άρα το σημείο $Α\big(x_{1}\, , \, y_{1}\big)$ είναι της μορφής: $Α(\mathrm{x}_{1}, -\mathrm{x}_{1} + 3).$

Το σημείο $Β\big(x_{2}\, , \, y_{2}\big)$ ανήκει στην ευθεία $(\theta): \mathrm{y} = 2\mathrm{x} - 6,$
οπότε οι συντεταγμένες του $B$ επαληθεύουν την εξίσωση της $(\theta)$ δηλαδή $y_{2}= 2\cdot x_{2}-6$
Άρα το σημείο $Β\big(x_{2}\, , \, y_{2}\big)$ είναι της μορφής: $Β(\mathrm{x}_{2}, 2\mathrm{x}_{2} - 6).$

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΜΕΣΟΥ

Επίσης για $\lambda = -1$ το σημείο $Μ\big(2\lambda + 4\,,\, \lambda + 2\big)$ είναι $Μ(2,1).$
Από υπόθεση σημείο $Μ(2,1)$ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $ΑΒ,$ οπότε έχουμε:

$\begin{align*} &\left\{\begin{aligned} \mathrm{x}_{\mathrm{M}} &=\dfrac{\mathrm{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{x}_{\mathrm{B}}}{2} \\\\ \mathrm{y}_{\mathrm{M}} &=\dfrac{\mathrm{y}_{\mathrm{A}}+\mathrm{y}_{\mathrm{B}}}{2} \end{aligned}\right\} \xRightarrow[y_M=1]{x_M=2}\\\\ &\left\{\begin{aligned} 2 &=\dfrac{\mathrm{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{x}_{\mathrm{B}}}{2} \\\\ 1 &=\dfrac{\mathrm{y}_{\mathrm{A}}+\mathrm{y}_{\mathrm{B}}}{2} \end{aligned}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{aligned} 2 &=\dfrac{\mathrm{x}_{\mathrm{1}}+\mathrm{x}_{\mathrm{2}}}{2} \\\\ 1 &=\dfrac{\mathrm{y}_{\mathrm{1}}+\mathrm{y}_{\mathrm{2}}}{2} \end{aligned}\right\} \xRightarrow[y_2=2 \mathrm{x}_{2}-6]{y_1=-\mathrm{x}_{1}+3}\\\\ &\left\{\begin{array}{c}{2=\dfrac{\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}}{2}} \\\\ {1=\dfrac{(-\mathrm{x}_{1}+3)+(2 \mathrm{x}_{2}-6)}{2}}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \\\\ \end{align*}$

$\begin{align*} &\left\{\begin{array}{c}2=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \\\\ 1=\dfrac{-x_{1}+3+2 x_{2}-6}{2}\end{array}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}2=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} \\\\ 1=\dfrac{-x_{1}+2 x_{2}-3}{2}\end{array}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}2\cdot 2=x_{1}+x_{2} \\\\ 1\cdot 2=-x_{1}+2 x_{2}-3\end{array}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}4=x_{1}+x_{2} \\\\ 2=-x_{1}+2 x_{2}-3\end{array}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{array}{c}4=x_{1}+x_{2} \\\\ 2+3=-x_{1}+2 x_{2}\end{array}\right\} \Rightarrow \\\\ &\left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2}=4 \\-x_{1}+2 x_{2}=5 \end{aligned}\right\} \Rightarrow \end{align*}$

$\begin{align*} &\left\{\begin{array}{l}{x_{1}=4-x_{2} \\-x_{1}+2 x_{2}=5} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\-(4-x_{2})+2 x_{2}=5} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\-4+x_{2}+2 x_{2}=5} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\-4+3 x_{2}=5} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\3 x_{2}=5+4} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\3 x_{2}=9} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\\\ x_{2}=\dfrac{9}{3}} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-x_{2} \\\\ x_{2}=3} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{ x_{1}=4-3 \\\\ x_{2}=3} \end{array}\right\} \Rightarrow\\\\ &\left\{\begin{array}{l}{x_{1}=1} \\ {x_{2}=3}\end{array}\right \} \end{align*}$