ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΥΘΕΙΑ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Α. ΤΡΟΠΟΣ

Έστω $\Gamma (x_{_{\Gamma}}\, ,\, y_{_{\Gamma}})$ το συμμέτρικο του $Α(3,1)$ ως προς την ευθεία $(\epsilon)$ τότε το $A\Gamma$ είναι κάθετο στην $(\epsilon).$

ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Γ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΤΟΥ Α ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ (ε) ΤΟΤΕ ΤΟ ΑΓ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΟ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ (ε)

Ισχύει ότι:

$A\Gamma \perp (\epsilon) \Leftrightarrow$

$\lambda_{_{Α\Gamma}} \cdot\lambda_{_\epsilon} = -1\Leftrightarrow$

$\lambda_{A\Gamma} \cdot \frac{1}{2} = -1 \Leftrightarrow$

$\lambda_{A\Gamma} = -2 \Leftrightarrow$

$\dfrac{\mathrm{y}_{\Gamma} - \mathrm{y}_{A}}{\mathrm{x}_{\Gamma} - \mathrm{x}_{A}} = -2 \Leftrightarrow$

$\dfrac{\mathrm{y}_{\Gamma} - 1}{\mathrm{x}_{\Gamma} - 3} = -2 \Leftrightarrow$

$\mathrm{y}_{\Gamma} - 1 = -2\cdot(\mathrm{x}_{\Gamma} - 3) \Leftrightarrow$

$\mathrm{y}_{\Gamma} - 1 = -2\mathrm{x}_{\Gamma} + 6 \Leftrightarrow$

$2\mathrm{x}_{\Gamma} + \mathrm{y}_{\Gamma} = 7 \qquad (1)$

Επίσης, για να είναι το σημείο $\Gamma (x_{_{\Gamma}}\, ,\, y_{_{\Gamma}})$ το συμμέτρικο του $Α(1,3)$ ως προς την ευθεία $(\epsilon),$ θα πρέπει το σημείο τομής $B(x_{_B}\, , \, y_{_{B}}),$ του ευθύγραμμου τμήματος $A\Gamma$ με την $(\epsilon),$ να είναι μέσο του $A\Gamma.$

Το μέσο $B(x_{_B},y_{_B})$ του ευθύγραμμου τμήματος $A\Gamma$ από τον τύπο που μας δίνει τις συντεταγμένες μέσου γράφεται:

$B\left(\frac{\mathrm{x}_{A} + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2},\frac{\mathrm{y}_{A} + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2}\right),$

επειδή το σημείο $A(1,3)$ τότε:

$B\left(\frac{3 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2},\frac{1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2}\right)$

επιπλέον το σημειο $B$ ανήκει στην ευθεία

$\epsilon: \mathrm{y} - \frac{1}{2} \mathrm{x} - 3,$

οπότε οι συντεταγμένες του $B$ επαληθεύουν την εξίσωση της $(\epsilon)$ δηλαδή:

$\frac{1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2} - 3 \Leftrightarrow$

$\frac{1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2} = \frac{3 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{4} - 3 \Leftrightarrow$

$4\cdot \frac{1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2} = 4\cdot \frac{3 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{4} - 4\cdot 3 \Leftrightarrow$

$2\cdot ({1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}) = 3 + \mathrm{x}_{\Gamma} - 12 \Leftrightarrow$

$2 + 2\mathrm{y}_{\Gamma} = 3 + \mathrm{x}_{\Gamma} - 12 \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \mathrm{x}_{\Gamma} - 2\mathrm{y}_{\Gamma} = 11 \qquad (2)$

Λύνουμε το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2):

$\left\{\begin{array}{l}{ (1):\quad 2\mathrm{x}_{\Gamma} + \mathrm{y}_{\Gamma}=7} \\ {(2): \quad \mathrm{x}_{\Gamma} - 2\mathrm{y}_{\Gamma} = 11}\end{array}\right\} \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{x}_{\Gamma} = 5}\\{\mathrm{y}_{\Gamma} = -3}\end{array}\right.$

Άρα το συμμετρικό του σημείου $Α(1,3)$ ως προς την ευθεία $(\epsilon): \mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - 3}$ είναι το σημείο

$\Gamma(5, -3).$

Β. ΤΡΟΠΟΣ

(ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ ΠΡΩΤΑ ΤΗΝ ΠΡΟΒΟΛΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ – ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΥΘΕΙΑ)

Αν $\Gamma(\mathrm{x}_{\Gamma}, \mathrm{y}_{\Gamma})$ είναι το συμμετρικό του $Α(3,1)$ ως προς την ευθεία $(\epsilon),$ τότε το σημείο $Β(4,1),$ η προβολή του $A$ στην $(\epsilon),$ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος $Α\Gamma$

ΤΟ ΣΗΜΕΙΟ Γ ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Α ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ (ε) ΟΤΑΝ ΤΟ Β ΕΙΝΑΙ ΤΟ ΜΕΣΟ ΤΟΥ ΑΓ

Από τον τύπο που μας δίνει τις συντεταγμένες μέσου ισχύουν τα εξής:

$\mathrm{x}_{B} = \frac{\mathrm{x}_{A} + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2} \Leftrightarrow 4 = \frac{3 + \mathrm{x}_{\Gamma}}{2} \Leftrightarrow 8 = 3 + \mathrm{x}_{\Gamma} \Leftrightarrow \mathrm{x}_{\Gamma} = 5$

$\mathrm{y}_{B} = \frac{\mathrm{y}_{A} + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2} \Leftrightarrow -1 = \frac{1 + \mathrm{y}_{\Gamma}}{2} \Leftrightarrow -2 = 1 + \mathrm{y}_{\Gamma} \Leftrightarrow \mathrm{y}_{\Gamma} = -3$

Άρα το συμμετρικό του σημείου $Α(1,3)$ ως προς την ευθεία $(\epsilon): \mathrm{y} = \dfrac{1}{2} \mathrm{x} - 3}$ είναι το σημείο

$\Gamma(5, -3).$

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
	1	2	3	4	5	6
7	8	9	10	11	12	13
14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27
28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΥΘΕΙΑ

Α. ΤΡΟΠΟΣ

Β. ΤΡΟΠΟΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά