ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΚΛΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΚΛΟΥ

Η εξίσωση \boldsymbol{\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} + A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0}

Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής:

    \[\textbf{\boldsymbol{\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} + A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0}}\]

με

    \[\boldsymbol{A^{2} + B^{2} - 4\Gamma >0} \,\, \qquad(1)\]

και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει κύκλο.

Απόδειξη
Ευθύ
Θα αποδείξουμε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής (1).
Αν ο κύκλος C έχει κέντρο το σημείο Κ(\mathrm{x}_{0}, \mathrm{y}_{0}) και ακτίνα \rho, τότε η εξίσωσή του είναι:

    \[(\mathrm{x} - \mathrm{x}_{0})^{2} + (\mathrm{y} - \mathrm{y}_{0})^{2} = \rho^{2} \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} - 2\mathrm{x}_{0}\mathrm{x} + \mathrm{x}^{2}_{0} + \mathrm{y}^{2} - 2\mathrm{y}_{0}\mathrm{y} + \mathrm{y}^{2}_{0} = \rho^{2} \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} + (-2\mathrm{x}_{0}) \cdot \mathrm{x} + (-2\mathrm{y}_{0}) \cdot \mathrm{y} + (\mathrm{x}^{2}_{0} + \mathrm{y}^{2}_{0} - \rho) = 0\]

Η τελευταία εξίσωση είναι της μορφής

    \[\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} + A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0\]

με

    \[Α = -2\mathrm{x}_{0},\quad B = -2\mathrm{y}_{0}, \quad \Gamma = \mathrm{x}^{2}_{0} + \mathrm{y}^{2}_{0} - \rho^{2}.\]

Αντίστροφο
Θα αποδείξουμε ότι κάθε εξίσωση της μορφής (1) παριστάνει κύκλο. Είναι:

    \[\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} + A\mathrm{x} + B\mathrm{y} + \Gamma = 0 \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} + A\mathrm{x} + \mathrm{y}^{2} + B\mathrm{y} = -\Gamma \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} + 2 \cdot \frac{A}{2} \mathrm{x} + \mathrm{y}^{2} + 2 \cdot \frac{B}{2} \mathrm{y} = -\Gamma \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} + 2 \cdot \frac{A}{2}\mathrm{x} + \frac{A^{2}}{4} + \mathrm{y}^{2} + 2 \cdot \frac{B}{2} \mathrm{y} + \frac{B^{2}}{4} = \frac{A^{2}}{4} + \frac{B^{2}}{4} - \Gamma\Leftrightarrow\]

    \[\left(\mathrm{x} + \frac{A}{2} \right)^{2} + \left(\mathrm{y} + \frac{B}{2} \right)^{2} = \frac{A^{2} + B^{2} - 4\Gamma}{4}\quad \qquad (2)\]

Έχουμε τις εξής περιπτώσεις:

\bullet Αν A^{2} + B^{2} - 4\Gamma > 0,
τότε η εξίσωση (2) παριστάνει κύκλο με κέντρο το σημείο

    \[Κ\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right)\,\, \text{ και ακτίνα} \,\,\rho = \frac{\sqrt{A^{2} + B^{2} - 4\Gamma}}{2}.\]

\bullet Αν A^{2} + B^{2} - 4\Gamma = 0, τότε η εξίσωση (2) παριστάνει ένα μόνο σημείο, το

    \[Κ\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right).\]

\bullet Αν A^{2} + B^{2} - 4\Gamma < 0, τότε η εξίσωση (2) είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία Μ(\mathrm{x}, \mathrm{y}) των οποίων οι συντεταγμένες να την επαληθεύουν.

 

ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΚΥΚΛΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

α) Στην εξίσωση

    \[\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} - 8\mathrm{x} + 6\mathrm{y} + 21 = 0\]

είναι

    \[Α = - 8, Β = 6, \Gamma = 21.\]

Έχουμε:

    \[A^{2} + Β^{2} - 4\Gamma =\]

    \[(-8)^{2} + 6^{2} - 4 \cdot 21 =\]

    \[64 +36 - 84 = 16 >0.\]

Άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο.
\bullet Η ακτίνα του κύκλου είναι:

    \[\rho = \frac{\sqrt{A^{2} + B^{2} - 4\Gamma}}{2} = \frac{\sqrt{16}}{2} = \frac{4}{2} = 2.\]

\bullet Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο:

    \[K\left(-\frac{A}{2},-\frac{B}{2}\right) \equiv K\left(-\frac{-8}{2},-\frac{6}{2}\right) \equiv K(4,-3).\]

Άλλος τρόπος
Μπορούμε να εργαστούμε με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώνου. Η εξίσωση γράφεται:

    \[\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} - 8\mathrm{x} + 6\mathrm{y} + 21 = 0 \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} - 8\mathrm{x} + \mathrm{y}^{2} + 6\mathrm{y} = 21 \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} - 2\cdot 4 \mathrm{x} + \mathrm{y}^{2} + 2\cdot 3 \mathrm{y} = 21 \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} - 2\cdot 4 \mathrm{x} + \mathrm{y}^{2} + 2\cdot 3 \mathrm{y} = 21 \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} - 8\mathrm{x} + 16 +\mathrm{y}^{2} + 6\mathrm{y} + 9 = -21 +16 +9 \Leftrightarrow\]

    \[(\mathrm{x} - 4)^{2} + (\mathrm{y} + 3)^{2} = 4.\]

Άρα η εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(4, -3) και ακτίνα \rho = 2.

β) Στην εξίσωση

    \[\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} + 4\mathrm{x} - 2\mathrm{y} + 5 = 0\]

είναι

    \[Α = 4, Β = -2,\,\Gamma = 5.\]

Έχουμε:

    \[A^{2} + B^{2} - 4\Gamma =\]

    \[4^{2} + (-2)^{2} - 4 \cdot 5 =\]

    \[16 + 4 - 20 = 0.\]

Άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ένα μόνο σημείο, το:

    \[K\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right) \equiv K\left(-\frac{4}{2}, -\frac{-2}{2}\right) \equiv K(-2, 1).\]

γ) Στην εξίσωση

    \[\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} - 4\mathrm{y} + 10 = 0\]

είναι

    \[Α = 0, Β = - 4, \,\Gamma = 10.\]

Έχουμε:

    \[A^{2} + B^{2} - 4\Gamma =\]

    \[0^{2} + (-4)^{2} - 4 \cdot 10 =\]

    \[16 - 40 = -24 < 0.\]

Άρα η προηγούμενη εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν υπάρχουν σημεία Μ(\mathrm{x},\mathrm{y}) των οποίων οι συντεταγμένες να την επαληθεύουν.

δ) Αν διαιρέσουμε με 4 τα δύο μέλη της εξίσωσης, προκύπτει:

    \[4\mathrm{x}^{2} + 4\mathrm{y}^{2} + 4\mathrm{x} - 12\mathrm{y} -15 = 0 \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} + \mathrm{y}^{2} + \mathrm{x} - 3\mathrm{y} - \frac{15}{4} = 0.\]

Είναι

    \[Α = 1, Β = -3, \, \Gamma = -\frac{15}{4}.\]

Έχουμε:

    \[A^{2} + B^{2} - 4\Gamma = 1^{2} + (-3)^{2} - 4 \left(-\frac{15}{4}\right) =\]

    \[1 + 9 +15 =25 > 0.\]

Άρα η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο.
\bullet Η ακτίνα του κύκλου είναι:

    \[\rho = \frac{\sqrt{A^{2} + B^{2} - 4\Gamma}}{2} =\frac{\sqrt{25}}{2} = \frac{5}{2}\]

\bullet Το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο:

    \[K\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right) \equiv K\left(-\frac{1}{2}, -\frac{-3}{2}\right) \equiv K\left(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right).\]

Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *