ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ

Print Friendly, PDF & Email

ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΥ

Έστω C ένας κύκλος με κέντρο Κ και ακτίνα \rho και \epsilon μια ευθεία. Ισχύουν τα εξής:

  • Η ευθεία δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο C, αν και μόνο αν:

    \[d(K,\epsilon) > \rho\]

Στην περίπτωση σαυτή το σύστημα των εξισώσεων του κύκλου C και της ευθείας \epsilon είναι αδύνατο.

  • Η ευθεία έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο C (εφάπτεται στον C) αν και μόνο αν ισχύει:

        \[d(K,\epsilon) = \rho\]


Στην περίπτωση αυτή το σύστημα των εξισώσεων του κύκλου C και της ευθείας \epsilon έχει μοναδική λύση(\boldsymbol{\mathrm{x}_{0},\mathrm{y}_{0}},) που είναι και οι συντεταγμένες του σημείου επαφής Μ.

  • Η ευθεία \epsilon έχει δύο (διαφορετικά) κοινά σημεία με τον κύκλο C, αν και μόνο ανισχύει:

    \[d(K,\epsilon) < \rho.\]


Στην περίπτωση αυτή το σύστημα των εξισώσεων του κύκλου C και της ευθείας \epsilon έχει δύο λύσεις, που είναι οι συντεταγμένες των κοινών σημείων Α και Β της \epsilon και του C.



Rendered by QuickLaTeX.com

ΛΥΣΗ

Απο υπόθεση ο κύκλος έχει εξίσωση

    \[C: (\mathrm{x} - 2)^{2} + (\mathrm{y} - 1)^{2} = 10.\]

Άρα ο κύκλος C έχει κέντρο το Κ(2,1) και ακτίνα \rho = \sqrt{10}.

α) Βρίσκουμε τις αποστάσεις του κέντρου Κ από τις ευθείες \epsilon_{1} και \epsilon_{2}, κάνοντας χρήση του τύπου απόσταση σημείου από ευθεία

Έχουμε:

    \[\epsilon_{1}: 3\mathrm{x} - 4\mathrm{y} + 18 = 0 \quad \text{και} \quad Κ(2,1)\]

  • d(K, \epsilon_{1}) = \dfrac{\lvert 3 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 18 \rvert}{\sqrt{3^{2} + (-4)^{2}}} = \dfrac{20}{5} = 4 > \sqrt{10}.
    Άρα η ευθεία \epsilon_{1} δεν έχει κοινά σημεία με τον κύκλο C, δηλαδή δεν τέμνει τον κύκλο C.

Επίσης

    \[\epsilon_{2}: 2\mathrm{x} - \mathrm{y} - 8 = 0\quad \text{και} \quad Κ(2,1)\]

  • d(K, \epsilon_{2}) = \dfrac{\lvert 2 \cdot 2 -1 - 8\rvert }{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \dfrac{\lvert -5 \rvert}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} < \sqrt{10}.

Άρα η ευθεία \epsilon_{2} τέμνει τον κύκλο C.

β) Για να βρούμε τα σημεία τομής του κύκλου C και της ευθείας \epsilon_{2}, λύνουμε το σύστημα των εξισώσεών τους:

    \[\left\{\begin{array}{rl}{2 \mathrm{x} - \mathrm{y} - 8 = 0} \\ {(\mathrm{x} - 2)^{2} + (\mathrm{y} - 1)^{2} = 10}\end{array}\right\} \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = 2 \mathrm{x} - 8} \\ {(\mathrm{x} - 2)^{2} + (2 \mathrm{x} -8-1)^{2} = 10} \end{array}\right. \Leftrightarrow\]

    \[\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y} = 2 \mathrm{x} - 8} \\ {(\mathrm{x} - 2)^{2} + (2 \mathrm{x} - 9)^{2} = 10} \end{array}\right. \begin{array} {c}{(1)} \\ {(2)} \end{array}\]

Έχουμε:

    \[(2) \Rightarrow \mathrm{x}^{2} - 4\mathrm{x} + 4 + 4\mathrm{x}^{2} - 36\mathrm{x} + 81 = 10 \Leftrightarrow\]

    \[5\mathrm{x}^{2} - 40\mathrm{x} + 75 = 0 \Leftrightarrow\]

    \[\mathrm{x}^{2} - 8\mathrm{x} + 15 = 0 \Leftrightarrow\]

    \[(\mathrm{x} = 3 \quad \text{ ή } \quad \mathrm{x} = 5).\]

Από την εξίσωση (1) έχουμε:

    \begin{align*}  \text{για}\quad \mathrm{x} &= 3 \\  \text{βρίσκουμε}\quad \mathrm{y}& = 2 \mathrm{x} - 8\Rightarrow\mathrm{y} = -2  \end{align*}

και

    \begin{align*}  \text{για}\quad \mathrm{x} &=  5 \\  \text{βρίσκουμε}\quad \mathrm{y}& = 2 \mathrm{x} - 8\Rightarrow\mathrm{y} = 2 \end{align*}

Άρα ο κύκλος C και η ευθεία \epsilon_{2} τέμνονται στα σημεία:

    \[M(3, -2)\quad \text{και}\quad Ν(5, 2)\]


γ)
Η ευθεία

    \[\zeta: α\mathrm{x} - \mathrm{y} + α + 2 = 0\]

εφάπτεται στον κύκλο

    \[C: (\mathrm{x} - 2)^{2} + (\mathrm{y} - 1)^{2} = 10,\]

αν και μόνο αν η απόσταση της της ευθείας από το κέντρο Κ(2,1) είναι ίση με την ακτίνα \rho = \sqrt{10}, του κύκλου.
Κάνοντας χρήση του τύπου απόσταση σημείου από ευθεία
έχουμε:

    \[d(K, \zeta) = \rho \Leftrightarrow \dfrac{\lvert 2α - 1 + α + 2 \rvert}{\sqrt{α^{2} + (-1)^{2}}} = \sqrt{10} \Leftrightarrow\]

    \[(3α + 1 )^{2} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{α^{2} + 1} \Leftrightarrow\]

    \[\lvert 3α + 1 \rvert^{2} = (\sqrt{10} \cdot \sqrt{α^{2} + 1})^{2} \Leftrightarrow\]

    \[(3α + 1)^{2} = 10 (α^{2} + 1) \Leftrightarrow\]

    \[9α^{2} + 6α + 1 = 10α^{2} + 10 \Leftrightarrow\]

    \[α^{2} - 6α + 9 = 0 \Leftrightarrow (α - 3)^{2} = 0 \Leftrightarrow α = 3.\]



Βιβλιογραφία:
Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.
Άδεια Creative Commons
Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

FacebooktwitterlinkedinmailFacebooktwitterlinkedinmail

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Δεν είμαι Robot *