ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση
1.) Αρκεί να αποδείξουμε ότι $\text{για κάθε}~ x \geq -1$ είναι:

$\sqrt{x + 1} \leq \dfrac{x + 2}{2} \Leftrightarrow$

$2\sqrt{x + 1} \leq x + 2 \Leftrightarrow$

$2\sqrt{x + 1} - x - 2 \leq 0$

Θεωρούμε τη συνάρτηση:

$f(x) = 2\sqrt{x + 1} - x - 2, ~\text{με} ~ x \in [-1, +\infty)$

Για κάθε $x \geq -1$ είναι:

$f'(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{x + 1}} - 1 \Leftrightarrow f'(x) = \dfrac{1 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$

Επίσης για $x\in [-1,+\infty),$ έχουμε:

$\begin{align*} f'(x) = 0 \Rightarrow & \dfrac{1 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}=0 \Rightarrow\\\\ & 1 - \sqrt{x + 1}=0 \Rightarrow\\\\ & 1 = \sqrt{x + 1} \Rightarrow\\\\ & 1^{2} = \sqrt{x + 1}^{2} \Rightarrow\\\\ & 1 = x + 1 \Rightarrow\\\\ & x = 0. \Rightarrow\\\\ \end{align*}$

Επιπλέον,

$\begin{align*} f'(x) > 0 \Rightarrow & \dfrac{1 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}\geq 0 \Rightarrow\\\\ & 1 - \sqrt{x + 1}>0 \Rightarrow\\\\ & 1 > \sqrt{x + 1} \Rightarrow\\\\ & 1^{2} > \sqrt{x + 1}^{2} \Rightarrow\\\\ & 1 > x + 1 \Rightarrow\\\\ & 0>x. \Rightarrow\\\\ \end{align*}$

Τέλος οι ρίζες και το πρόσημο της $f',$ καθώς και η μονοτονία της $f,$ φαίνονται στον πίνακα τιμών

Πίνακας μονοτονίας. — Πίνακας προσήμου της $f'(x) = \dfrac{1 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ και μονοτονίας της $f(x)=2\sqrt{x + 1} - x - 2$

Πίνακας προσήμου της $f'(x) = \dfrac{1 - \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x + 1}}$ και μονοτονίας της $f(x)=2\sqrt{x + 1} - x - 2$

Η $f$ παρουσιάζει ολικό μέγιστο για $~x = 0$ το:

$f(0) = 2\sqrt{0 + 1} - 0 -2 = 0$

Άρα $\text{για κάθε} x \geq -1$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} &f(x)\leq max f\\\\ &f(x)\leq f(0)~\text{το "=" ισχύει για} ~x=0~\text{ΜΟΝΟΝ}\\\\ &f(x) \leq 0 \\\\ &2\sqrt{x + 1} - x - 1 \leq 0 \\\\ &\sqrt{x + 1} \leq \dfrac{x + 2}{2}~\text{το "=" ισχύει για} ~x=0~\text{ΜΟΝΟΝ} \end{align*}$

2.)Για κάθε $x\in[-1,+\infty)$ ισχύει ότι $\sqrt{x + 1} \leq \dfrac{x + 2}{2},$
όποτε θα ισχύει και για $x=x^3,$ δηλαδη:

$\sqrt{x^3 + 1} \leq \dfrac{x^3 + 2}{2}, ~\text{για κάθε } x \in [0, 1]\subset [-1,+\infty)$

επειδή το $~ = ~$ ισχύει για $~x=0~$ ΜΟΝΟΝ
Έτσι από ΘΕΩΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ
έχουμε ότι:

$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{x^3 + 1} ~dx < \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^3 + 2}{2} ~dx$

Όμως είναι:

$\begin{align*} \displaystyle\int_0^1\dfrac{x^3 + 2}{2} ~dx & = \displaystyle\int_0^1 \bigg(\dfrac{x^3}{2} + 1\bigg) ~dx = \\\\ & = \bigg[\dfrac{x^4}{8} + x\bigg]_0^1 = \dfrac{1}{8} + 1 - 0 = \dfrac{9}{8} \end{align*}$

Τελικά:

$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{x^3 + 1} ~dx < \displaystyle\int_0^1 \dfrac{x^3 + 2}{2} ~dx$

$\int_0^1 \sqrt{x^3 + 1} ~dx <\dfrac{9}{8}$

Βιβλιογραφία: Παπαδάκης εκδόσεις Σαββάλα.

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΔΙΑΤΑΞΗ ΟΡΙΣΜΕΝΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά