ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1332 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Η παράσταση $\Pi$ ορίζεται για $x \in \mathbb{R}$ με:

$\begin{align*} & ~(x^2 - x \neq 0 \quad \text{και} \quad 1 - x \neq 0) \Leftrightarrow \\ & ~\big(x(x - 1) \neq 0 \quad \text{και} \quad x \neq 1\big) \Leftrightarrow \\ & ~(x \neq 0 \quad \text{και} \quad x - 1 \neq 0 \quad \text{και} \quad x \neq 1) \Leftrightarrow \\ & ~(x \neq 0 \quad \text{και} \quad x \neq 1 \quad \text{και} \quad x \neq 1) \end{align*}$

Επομένως η παράσταση $\Pi$ έχει νόημα πραγματικού αριθμού για κάθε $x \in \mathbb{R} - \{0, 1\}.$
2.) Για κάθε $x \in \mathbb{R} - \{0, 1\}$ ισχύει ότι:

$\begin{align*} & ~\dfrac{2x^2 - 1}{x^2 - x} + \dfrac{1}{1 - x} = 0 \Leftrightarrow \\ & ~x(x - 1)\dfrac{2x^2 - 1}{x(x - 1)} - x(x - 1)\dfrac{1}{x - 1} = 0 \Leftrightarrow \\ & ~2x^2 - 1 - x = 0 \Leftrightarrow \\ & ~2x^2 - x - 1 = 0 \end{align*}$

Για $\alpha = 2, ~\beta = -1$ και $\gamma = -1,$ βρίσκουμε:

$\Delta = \beta^2 - 4 \alpha \gamma = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 > 0$

Οι ρίζες της εξίσωσης είναι:

$x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha} = \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \dfrac{1 \pm 3}{4} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{1 + 3}{4} = 1\\[5mm] \dfrac{1 - 3}{4} = -\dfrac{1}{2} \end{array}\right.$

Η ρίζα $x = 1$ απορρίπτεται λόγω περιορισμού.\\
Τελικά η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα την $x = -\dfrac{1}{2}.$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
						1
2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15
16	17	18	19	20	21	22
23	24	25	26	27	28	29
30	31

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1332 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά