ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1297 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΠΙΠΕΔΟ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ ΘΕΜΑΤΟΣ 2 ΔΕΥΤΕΡΟΥ

3.3 Εξισώσεις δευτέρου βαθμού,
6.1 Η έννοια της συνάρτησης.

Rendered by QuickLaTeX.com

Λύση

1.) Είναι:

$f\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow$

$f\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg) = \dfrac{1}{2} + 2 \Leftrightarrow$

$f\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{2} \Leftrightarrow$

$f\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)= \dfrac{5}{2}.$

επίσης,

$f(1) = 1 + \dfrac{1}{1} = 1 + 1 = 2$

και

$f(2) = 2 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$

Τότε:

$\begin{align*} & ~A = f\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg) + f(1) - f(2) \Leftrightarrow \\ & ~A = \dfrac{5}{2} + 2 - \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \\ & ~A = 2 \end{align*}$

2.) Ισχύει ότι:

$\begin{align*} & ~f(x) = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \\\\ & x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \\\\ & ~\dfrac{x^2 + 1}{x} = \dfrac{5}{2} \Leftrightarrow \\\\ & 2(x^2 + 1) = 5x \Leftrightarrow \\\\ & ~2x^2+ 2 = 5x \Leftrightarrow \\\\ &2x^2 - 5x + 2 = 0 \end{align*}$

Το τριώνυμο $2x^2 - 5x + 2$ έχει $\alpha = 2, ~\beta = -5, ~\gamma = 2$ και διακρίνουσα:

$\Delta = \beta^2 - 4\alpha \gamma = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 > 0$

Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:

$x_{1, 2} = \dfrac{-\beta \pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}$

$x_{1, 2} = \dfrac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2}$

$x_{1, 2} = \dfrac{5 \pm 3}{4}$

$x_{1, 2} = \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{5 + 3}{4} = 2\\[5mm] \dfrac{5 - 3}{4} = \dfrac{1}{2} \end{array}\right.$

Βιβλιογραφία
http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida

Αυτή η εργασία χορηγείται με άδεια Creative Commons Αναφορά Δημιουργού – Μη Εμπορική Χρήση – Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές .

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά

Δ	Τ	Τ	Π	Π	Σ	Κ
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30

Ν. Α. Διακόπουλος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 1297 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Ένας ιστότοπος για τα Μαθηματικά